Číslo 30 ve dvojkové soustavě. Číselné soustavy

Pomocí této online kalkulačky můžete převádět celá a zlomková čísla z jedné číselné soustavy do druhé. Je uvedeno podrobné řešení s vysvětlením. Pro překlad zadejte původní číslo, nastavte základ číselné soustavy původního čísla, nastavte základ číselné soustavy, na kterou chcete číslo převést a klikněte na tlačítko "Přeložit". Viz teoretická část a numerické příklady níže.

Výsledek se již dostavil!

Překlad celých a zlomkových čísel z jedné číselné soustavy do jiné - teorie, příklady a řešení

Existují poziční a nepoziční číselné soustavy. Arabský číselný systém, který používáme v každodenním životě, je poziční, zatímco římský nikoli. V pozičních číselných systémech poloha čísla jednoznačně určuje velikost čísla. Zvažte to na příkladu čísla 6372 v desítkové soustavě čísel. Očíslujme toto číslo zprava doleva počínaje nulou:

Pak může být číslo 6372 reprezentováno takto:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

Číslo 10 definuje číselnou soustavu (v tomto případě je to 10). Hodnoty polohy daného čísla jsou brány jako stupně.

Uvažujme skutečné desetinné číslo 1287,923. Číslováme od nulové pozice čísla od desetinné čárky doleva a doprava:

Pak číslo 1287.923 může být reprezentováno jako:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

Obecně lze vzorec reprezentovat takto:

C n s n + C n-1 s n-1 +...+C1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

kde C n je celé číslo na pozici n, D -k - zlomkové číslo na pozici (-k), s- číselný systém.

Pár slov o číselných soustavách Číslo v desítkové číselné soustavě se skládá ze sady číslic (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), v osmičkové soustavě se skládá z sada číslic (0,1, 2,3,4,5,6,7), v binární soustavě - ze sady číslic (0,1), v hexadecimální číselné soustavě - ze sady číslic (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), kde A,B,C,D,E,F odpovídají číslům 10,11, 12, 13, 14, 15. V tabulce 1 jsou čísla zastoupena v různých číselných soustavách.

stůl 1
Notový zápis
10 2 8 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé je nejjednodušší převést číslo do desítkové číselné soustavy a poté z desítkové číselné soustavy převést do požadované číselné soustavy.

Převod čísel z libovolné číselné soustavy do desítkové číselné soustavy

Pomocí vzorce (1) můžete převést čísla z libovolné číselné soustavy na desítkovou číselnou soustavu.

Příklad 1. Převeďte číslo 1011101.001 z binární číselné soustavy (SS) na desítkovou SS. Řešení:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 20 + 0 2-1+ 0 2-2+ 1 2-3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Příklad2. Převeďte číslo 1011101.001 z osmičkové číselné soustavy (SS) na desítkovou SS. Řešení:

Příklad 3 . Převeďte číslo AB572.CDF z hexadecimálního na desítkové SS. Řešení:

Tady A- nahrazeno 10, B- v 11, C- ve 12, F- v 15.

Převod čísel z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy

Chcete-li převést čísla z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy, musíte samostatně přeložit celočíselnou část čísla a zlomkovou část čísla.

Celočíselná část čísla se překládá z desítkové SS do jiné číselné soustavy - postupným dělením celé části čísla základem číselné soustavy (pro binární SS - 2, pro 8-místné SS - 8, pro 16místný - o 16 atd. ) získat celý zbytek, menší než je základ SS.

Příklad 4 . Přeložme číslo 159 z desítkové SS na binární SS:

159 2
158 79 2
1 78 39 2
1 38 19 2
1 18 9 2
1 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0

Jak je vidět z Obr. 1, číslo 159, když je děleno 2, dává podíl 79 a zbytek je 1. Dále, číslo 79, když je děleno 2, dává podíl 39 a zbytek je 1, a tak dále. Výsledkem je, že sestavením čísla ze zbytku dělení (zprava doleva) dostaneme číslo v binárním SS: 10011111 . Proto můžeme napsat:

159 10 =10011111 2 .

Příklad 5 . Převeďme číslo 615 z desítkové SS na osmičkovou SS.

615 8
608 76 8
7 72 9 8
4 8 1
1

Při převodu čísla z desítkové SS na osmičkovou SS musíte číslo postupně dělit 8, dokud nezískáte zbytek celého čísla menší než 8. Výsledkem je, že sestavením čísla ze zbytku dělení (zprava doleva) získat číslo v osmičkovém SS: 1147 (viz obr. 2). Proto můžeme napsat:

615 10 =1147 8 .

Příklad 6 . Přeložme číslo 19673 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS.

19673 16
19664 1229 16
9 1216 76 16
13 64 4
12

Jak je vidět z obrázku 3, postupným dělením čísla 19673 16 jsme dostali zbytky 4, 12, 13, 9. V hexadecimální soustavě čísel odpovídá číslu 12 C, číslu 13 - D. naše hexadecimální číslo je 4CD9.

Abychom převedli správné desetinné zlomky (reálné číslo s nulovou celočíselnou částí) na číselnou soustavu se základem s, musíme toto číslo postupně násobit s, dokud není zlomková část čistá nula, jinak nezískáme požadovaný počet číslic. Pokud výsledkem násobení je číslo s celočíselnou částí jinou než nula, pak se tato celočíselná část nebere v úvahu (jsou postupně zahrnuty do výsledku).

Podívejme se na výše uvedené s příklady.

Příklad 7 . Přeložme číslo 0,214 z desítkové číselné soustavy na binární SS.

0.214
X 2
0 0.428
X 2
0 0.856
X 2
1 0.712
X 2
1 0.424
X 2
0 0.848
X 2
1 0.696
X 2
1 0.392

Jak je vidět z obr.4, číslo 0,214 se postupně násobí 2. Pokud je výsledkem násobení číslo s jinou celočíselnou částí než nula, pak se celá část zapisuje samostatně (vlevo od čísla), a číslo se zapisuje s nulovou celočíselnou částí. Pokud při vynásobení získáme číslo s nulovou celočíselnou částí, pak se nalevo od něj zapíše nula. Proces násobení pokračuje, dokud není v zlomkové části získána čistá nula nebo dokud není získán požadovaný počet číslic. Zápisem tučných čísel (obr. 4) shora dolů dostaneme požadované číslo ve dvojkové soustavě: 0. 0011011 .

Proto můžeme napsat:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Příklad 8 . Přeložme číslo 0,125 z desítkové číselné soustavy do dvojkové SS.

0.125
X 2
0 0.25
X 2
0 0.5
X 2
1 0.0

Pro převod čísla 0,125 z desítkové SS na binární se toto číslo postupně násobí 2. Ve třetí fázi bylo získáno 0. Proto byl získán následující výsledek:

0.125 10 =0.001 2 .

Příklad 9 . Přeložme číslo 0,214 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS.

0.214
X 16
3 0.424
X 16
6 0.784
X 16
12 0.544
X 16
8 0.704
X 16
11 0.264
X 16
4 0.224

Podle příkladů 4 a 5 dostaneme čísla 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale v šestnáctkové soustavě SS čísla C a B odpovídají číslům 12 a 11. Máme tedy:

0,21410 = 0,36C8B416.

Příklad 10 . Přeložme číslo 0,512 z desítkové číselné soustavy do osmičkové SS.

0.512
X 8
4 0.096
X 8
0 0.768
X 8
6 0.144
X 8
1 0.152
X 8
1 0.216
X 8
1 0.728

Mám:

0.512 10 =0.406111 8 .

Příklad 11 . Přeložme číslo 159.125 z desítkové číselné soustavy na binární SS. K tomu přeložíme odděleně celočíselnou část čísla (příklad 4) a zlomkovou část čísla (příklad 8). Spojením těchto výsledků dostaneme:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Příklad 12 . Přeložme číslo 19673.214 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS. K tomu přeložíme odděleně celočíselnou část čísla (příklad 6) a zlomkovou část čísla (příklad 9). Další kombinací těchto výsledků dostáváme.

Čísla se v binární číselné soustavě zapisují pouze pomocí dvou číslic - 0 a 1. Proto je tato soustava nejsnáze implementována v praxi do elektronických počítačů a zařízení. Zvažte, jak převést číslo do dvojkové soustavy z obvyklé desítkové soustavy bez pomoci kalkulačky a počítačových programů.

Celá čísla

Aby bylo možné převést celé číslo z desítkové na binární, je nutné jej vydělit dvěma a poté vydělit dvěma každý výsledný podíl, dokud nezískáme jedničku. Požadované binární číslo je zapsáno jako posloupnost číslic rovnající se poslednímu kvocientu (jedničce) a všem přijatým zbytkům, počínaje posledním.

Uveďme příklady.

Potřebujeme převést číslo 23 do dvojkové soustavy

  1. 23: 2 = 11 (zbytek 1)
  2. 11:2=5 (zbytek 1)
  3. 5: 2 = 2 (zbytek 1)
  4. 2:2 = 1 (zbytek 0)

Výsledkem je, že 23 10 = 10111 2

Je nutné převést číslo 88 do binární číselné soustavy:

  1. 88: 2 = 44 (zbytek 0)
  2. 44: 2 = 22 (zbytek 0)
  3. 22: 2 = 11 (zbytek 0)
  4. 11:2=5 (zbytek 1)
  5. 5: 2 = 2 (zbytek 1)
  6. 2:2 = 1 (zbytek 0)

Výsledkem je, že 88 10 = 1011000 2

Zlomková čísla

Nyní se podívejme na algoritmus, jak převést zlomková desetinná čísla do dvojkové soustavy. K tomu pracujeme s celou částí čísla podle výše popsaného postupu a zlomkovou část vynásobíme dvěma. Znovu násobíme zlomkovou část výsledného produktu dvěma a tak dále, dokud se zlomková část nerovná nule nebo dokud nezískáme potřebnou aproximaci na daný počet binárních desetinných míst. Požadovaná zlomková část binárního čísla se získá jako posloupnost číslic za desetinnou čárkou, která se rovná celočíselným částem získaných produktů, počínaje první.

Zde jsou nějaké příklady:

Je nutné převést číslo 5,625 do dvojkové soustavy:

  • Nejprve zvažte celočíselnou část desetinného čísla:
    1. 5: 2 = 2 (zbytek 1)
    2. 2:2 = 1 (zbytek 0)

    • Výsledkem je, že 5 10 = 101 2

  • Nyní zlomková část:
    1. 0,625 * 2 = 1,25
    2. 0,25 * 2 = 0,5
    3. 0,5 * 2 = 1,0

V důsledku toho 0,125 10 \u003d 0,101 2

Výsledek je 5,625 10 = 101,101 2

Je nutné převést 8,35 do dvojkové soustavy s přesností na 5 desetinných míst:

  • Začněme celou částí:
    1. 8: 2 = 4 (zbytek 0)
    2. 4: 2 = 2 (zbytek 0)
    3. 2:2 = 1 (zbytek 0)

    • Výsledkem je 8 10 = 1 000 2

  • Zlomková část čísla:
    1. 0,35 * 2 = 0,7
    2. 0,7 * 2 = 1,4
    3. 0,4 * 2 = 0,8
    4. 0,8 * 2 = 1,6
    5. 0,6 * 2 = 1,2

Výsledkem je 0,35 10 \u003d 0,01011 2 s přesností na 5 desetinných míst.

Výsledek je 8,35 10 = 1000,01011 2 s přesností na 5 desetinných míst.

1. Pořadové počítání v různých číselných soustavách.

V moderním životě používáme poziční číselné soustavy, tedy soustavy, ve kterých číslo označené číslicí závisí na poloze číslice v zápisu čísla. Proto v budoucnu budeme hovořit pouze o nich, vynecháme pojem „poziční“.

Abychom se naučili překládat čísla z jedné soustavy do druhé, pochopme, jak probíhá sekvenční zaznamenávání čísel pomocí desítkové soustavy jako příkladu.

Protože máme desítkovou číselnou soustavu, máme k sestavení čísel 10 znaků (číslic). Začneme ordinálním počítáním: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Čísla jsou u konce. Zvýšíme kapacitu čísla a vynulujeme dolní řád: 10. Poté opět zvyšujeme nízký řád, dokud nedojdou všechny číslice: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Zvyšte vysoký řád o 1 a dolní řád nastavíme na nulu: 20. Když použijeme všechny číslice pro obě číslice (dostaneme číslo 99), opět zvýšíme kapacitu číslic čísla a vynulujeme stávající číslice: 100. A tak dále.

Zkusme udělat totéž ve 2., 3. a 5. systému (zaveďme zápis pro 2. systém, pro 3. atd.):

0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 10 3
4 100 11 4
5 101 12 10
6 110 20 11
7 111 21 12
8 1000 22 13
9 1001 100 14
10 1010 101 20
11 1011 102 21
12 1100 110 22
13 1101 111 23
14 1110 112 24
15 1111 120 30

Pokud má číselný systém základ větší než 10, pak budeme muset zadat další znaky, je obvyklé zadávat písmena latinské abecedy. Například pro šestnáctkovou soustavu potřebujeme kromě deseti číslic dvě písmena ( a ):

0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10
11
12 10
13 11
14 12
15 13

2.Převod z desítkové soustavy čísel do jakékoli jiné.

Chcete-li převést celé kladné desetinné číslo na číselnou soustavu s jiným základem, musíte toto číslo vydělit základem. Výsledný podíl se opět dělí základem a dále, dokud není podíl menší než základ. V důsledku toho zapište poslední podíl a všechny zbytky na jeden řádek, počínaje posledním.

Příklad 1 Přeložme desetinné číslo 46 do dvojkové číselné soustavy.

Příklad 2 Přeložme desetinné číslo 672 do osmičkové číselné soustavy.

Příklad 3 Přeložme desetinné číslo 934 do hexadecimální číselné soustavy.

3. Překlad z libovolné číselné soustavy do desítkové soustavy.

Abychom se naučili překládat čísla z jakéhokoli jiného systému do desítkové soustavy, pojďme analyzovat nám známý desítkový zápis.
Například desetinné číslo 325 je 5 jednotek, 2 desítky a 3 stovky, tzn.

Úplně stejná situace je i v jiných číselných soustavách, jen nebudeme násobit 10, 100 atd., ale stupněm základu číselné soustavy. Vezměme si například číslo 1201 v ternární číselné soustavě. Číslice číslujeme zprava doleva počínaje nulou a naše číslo představujeme jako součet součinů číslice trojicí ve stupni číslice:

Jedná se o desítkový zápis našeho čísla, tzn.

Příklad 4 Převeďme osmičkové číslo 511 do desítkové číselné soustavy.

Příklad 5 Převeďme šestnáctkové číslo 1151 do desítkové číselné soustavy.

4. Převod z dvojkové soustavy do soustavy se základem „mocniny dvou“ (4, 8, 16 atd.).

K převodu binárního čísla na číslo se základem „mocniny dvou“ je nutné rozdělit binární posloupnost do skupin podle počtu číslic rovnající se stupni zprava doleva a každou skupinu nahradit odpovídající číslicí nový číselný systém.

Převeďme například binární číslo 1100001111010110 na osmičkové. Chcete-li to provést, rozdělme jej do skupin po 3 znacích počínaje zprava (protože ), a pak použijte tabulku shody a nahraďte každou skupinu novým číslem:

Naučili jsme se, jak vytvořit korespondenční tabulku v odstavci 1.

0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7

Tito.

Příklad 6 Převedeme binární číslo 1100001111010110 na šestnáctkovou soustavu.

0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F

5. Převod ze systému se základní "mocninou dvou" (4, 8, 16 atd.) do binárního.

Tento překlad je podobný předchozímu, provedený v opačném směru: každou číslici nahradíme skupinou číslic ve dvojkové soustavě z korespondenční tabulky.

Příklad 7 Přeložme hexadecimální číslo C3A6 do binární číselné soustavy.

Za tímto účelem nahradíme každou číslici čísla skupinou 4 číslic (protože ) z korespondenční tabulky a v případě potřeby doplníme skupinu nulami na začátku: