Základní pojmy kinematiky a kinematické charakteristiky
Pohyb osoby je mechanický, to znamená, že se jedná o změnu těla nebo jeho částí ve srovnání s jinými těly. Relativní posunutí je popsáno kinematikou.
Kinematika – část mechaniky, která studuje mechanický pohyb, ale neuvažuje o příčinách tohoto pohybu... Popis pohybu lidského těla (jeho částí) v různých sportech a různých sportovních potřebách jsou nedílnou součástí sportovní biomechaniky a zejména kinematiky.
Ať už uvažujeme o jakémkoli hmotném objektu nebo jevu, ukázalo se, že nic neexistuje mimo vesmír a mimo čas. Jakýkoli objekt má prostorové rozměry a tvar, je umístěn na nějakém místě v prostoru ve vztahu k jinému objektu. Jakýkoli proces, na kterém se hmotné objekty účastní, má časově i začátek a konec, pokud trvá v čase, může nastat dříve nebo později než jiný proces. Proto je nutné měřit prostorový a časový rozsah.
Základní jednotky měření kinematických charakteristik v mezinárodním systému měření SI.
Prostor. Jedna čtyřicetimiliontá část délky poledníku Země procházejícího Paříží byla nazývána metr. Proto se délka měří v metrech (m) a několika jednotkách měření: kilometry (km), centimetry (cm) atd.
Čas - jeden ze základních pojmů. Lze říci, že právě to odděluje dvě po sobě jdoucí události. Jedním ze způsobů, jak měřit čas, je použít jakýkoli pravidelně se opakující proces. Jedna osmdesát šest tisícinová část dne Země byla vybrána jako jednotka času a byla nazývána sekundou (sekundami) a jejími násobky (minuty, hodiny atd.).
Ve sportu se používají speciální časové charakteristiky:
Okamžik času (t) - je to dočasné měřítko polohy hmotného bodu, vazeb těla nebo soustavy těles... Okamžiky označují začátek a konec pohybu nebo jeho části nebo fáze.
Doba pohybu ()T) - jedná se o jeho dočasnou míru, která se měří rozdílem mezi okamžiky konce a začátku pohybu ∆t \u003d tfin. - tstart.
Rychlost pohybu (N) - jedná se o dočasné měřítko opakování pohybů opakovaných v jednotce času... N \u003d 1 / t; (1 / c) nebo (cyklus / c).
Rytmus pohybu – je to dočasné měřítko poměru částí (fází) pohybů... Je určena poměrem doby trvání částí pohybu.
Poloha tělesa v prostoru se určuje vzhledem k určitému referenčnímu rámci, který zahrnuje referenční těleso (tj. S ohledem na to, co je považováno za pohyb) a souřadný systém nezbytný k popisu polohy tělesa v jednom nebo jiná část prostoru na kvalitativní úrovni.
Referenční tělo je spojeno se začátkem a směrem měření. Například v řadě soutěží lze jako výchozí místo zvolit počáteční pozici. Od něj jsou již vypočítány různé soutěžní vzdálenosti ve všech cyklických sportech. Ve vybraném souřadnicovém systému „start - cíl“ je tedy určena vzdálenost v prostoru, o kterou se sportovec bude pohybovat při pohybu. Jakákoli mezipoloha těla sportovce během pohybu je charakterizována aktuální souřadnicí ve zvoleném intervalu vzdálenosti.
Pro přesné určení sportovního výsledku pravidla soutěže stanoví, v jakém bodě (výchozím bodě) se počítání provádí: podél špičky bruslařské brusle, podél vyčnívajícího bodu hrudníku sprintera nebo podél okraje stezky přistávací můstek.
V některých případech je pro přesný popis pohybu zákonů biomechaniky představen koncept hmotného bodu.
Hmotný bod – jedná se o tělo, jehož rozměry a vnitřní strukturu lze za těchto podmínek zanedbávat.
Pohyb těles v přírodě a intenzita mohou být různé. K charakterizaci těchto rozdílů je v kinematice zavedena řada termínů, které jsou uvedeny níže.
Trajektorie – přímka popsaná v prostoru pohyblivým bodem tělesa... V biomechanické analýze pohybů se především berou v úvahu trajektorie pohybů charakteristických bodů člověka. Typicky jsou to body kloubů těla. Podle typu trajektorie pohybů se dělí na přímočaré (přímka) a křivočaré (jakákoli jiná přímka).
Stěhování – toto je vektorový rozdíl mezi konečnou a počáteční polohou těla... Pohyb proto charakterizuje konečný výsledek pohybu.
Cesta – jedná se o délku segmentu trajektorie, kterou prošlo těleso nebo bod tělesa během zvoleného časového intervalu.
KINEMATICKÝ BOD
Úvod do kinematiky
Kinematika se nazývá část teoretické mechaniky, ve které je studován pohyb hmotných těles z geometrického hlediska, bez ohledu na použité síly.
Poloha pohybujícího se těla v prostoru je vždy určena ve vztahu k jakémukoli jinému nezměnitelnému tělu zvanému referenční orgán... Je vyvolán souřadnicový systém, vždy spojený s referenčním tělem referenční rámec. V newtonovské mechanice je čas považován za absolutní a nesouvisí s pohybující se hmotou. V souladu s tím postupuje stejným způsobem ve všech referenčních rámcích bez ohledu na jejich pohyb. Hlavní jednotkou času je sekunda (y).
Pokud se poloha těla ve vztahu k vybranému referenčnímu rámci v průběhu času nemění, pak to říkají tělo vzhledem k danému referenčnímu rámci je v klidu... Pokud tělo změní svoji polohu vzhledem k vybranému referenčnímu rámci, říká se, že se pohybuje ve vztahu k tomuto rámci. Tělo může být v klidu ve vztahu k jednomu referenčnímu rámci, ale může se pohybovat (a navíc úplně jiným způsobem) ve vztahu k jiným referenčním rámcům. Například cestující, který nehybně sedí na lavici jedoucího vlaku, je v klidu vzhledem k referenčnímu rámci spojenému s vozem, ale pohybuje se ve vztahu k referenčnímu rámci spojenému se Zemí. Bod ležící na valivé ploše kola se pohybuje ve vztahu k referenčnímu rámci spojenému s automobilem v kruhu a ve vztahu k referenčnímu rámci ve vztahu k Zemi podél cykloidu; stejný bod je v klidu ve vztahu ke souřadnicovému systému přidruženému k dvojkolí.
Tím pádem, pohyb nebo zbytek těla lze uvažovat pouze ve vztahu k vybranému referenčnímu rámci. Nastavte pohyb těla vzhledem k jakémukoli referenčnímu rámci -znamená dát funkční závislosti, pomocí kterých je možné určit polohu těla kdykoli ve vztahu k tomuto systému. Různé body stejného těla se pohybují odlišně ve vztahu k vybranému referenčnímu rámci. Například ve vztahu k systému spojenému se Zemí se bod valící se plochy kola pohybuje podél cykloidu a střed kola se pohybuje po přímce. Studium kinematiky proto začíná kinematikou bodu.
§ 2. Metody pro určení pohybu bodu
Pohyb bodu lze určit třemi způsoby: přirozené, vektorové a souřadnicové.
Přirozeným způsobem úkolu pohybu je dána trajektorie, tj. přímka, po které se bod pohybuje (obrázek 2.1). Na této trajektorii je vybrán určitý bod, který je považován za počátek. Vybere kladný a záporný směr souřadnice oblouku, která definuje polohu bodu na trase. Jak se bod pohybuje, vzdálenost se bude měnit. Proto, abychom mohli určit polohu bodu v kterémkoli okamžiku, stačí nastavit souřadnici oblouku jako funkci času:
Tato rovnost se nazývá pohybová rovnice bodu podél dané trajektorie .
Pohyb bodu je tedy v tomto případě určen souhrnem následujících údajů: trajektorie bodu, poloha počátku souřadnice oblouku, kladný a záporný směr reference a funkce.
Při vektorové metodě určování pohybu bodu je poloha bodu určena velikostí a směrem vektoru poloměru nakresleného z pevného středu do daného bodu (obr. 2.2). Když se bod pohybuje, jeho poloměrový vektor se mění ve velikosti a směru. Proto k určení polohy bodu v jakémkoli časovém okamžiku stačí nastavit jeho poloměrový vektor jako funkci času:
Tato rovnost se nazývá vektorová pohybová rovnice bodu .
S metodou souřadnic
při nastavení pohybu se poloha bodu ve vztahu k vybranému referenčnímu systému určí pomocí obdélníkového systému kartézských souřadnic (obr. 2.3). Jak se bod pohybuje, jeho souřadnice se v průběhu času mění. Proto, aby bylo možné určit polohu bodu v kterémkoli okamžiku, stačí nastavit souřadnice , ,
jako funkce času:
Tyto rovnosti se nazývají pohybové rovnice bodu v pravoúhlých kartézských souřadnicích ... Pohyb bodu v rovině je určen dvěma rovnicemi systému (2.3), přímočarý pohyb je určen jednou.
Mezi třemi popsanými způsoby určení pohybu existuje vzájemný vztah, který vám umožní přejít z jednoho způsobu určení pohybu na jiný. To lze snadno ověřit, například při zvažování přechodu ze souřadnicové metody určení pohybu na vektor.
Předpokládejme, že pohyb bodu je dán ve formě rovnic (2.3). S ohledem na to
lze psát
A toto je rovnice tvaru (2.2).
Úkol 2.1.
Najděte pohybovou rovnici a trajektorii středního bodu ojnice a také pohybovou rovnici posuvníku mechanismu klik-posuvník (obr. 2.4), pokud 
;
.
Rozhodnutí. Poloha bodu je určena dvěma souřadnicemi a. Obr. 2.4 je vidět, že
, .
Pak od a:
; ; 
.
Nahrazení hodnot , 
a získáme pohybové rovnice bodu:
; 
.
Chcete-li najít rovnici trajektorie bodu v explicitní formě, je nutné vyloučit čas z pohybových rovnic. Za tímto účelem provedeme nezbytné transformace v pohybových rovnicích získaných výše:
; .
Srovnáním a přidáním levé a pravé strany těchto rovnic získáme rovnici trajektorie ve tvaru
.
Proto je trajektorie bodu elipsa.
Posuvník se pohybuje po přímce. Souřadnice určující polohu bodu lze zapsat jako
.
Rychlost a zrychlení
Bodová rychlost
V předchozím článku je pohyb těla nebo bodu definován jako změna polohy v prostoru v čase. Pro úplnější charakterizaci kvalitativních a kvantitativních aspektů pohybu jsou představeny pojmy rychlost a zrychlení.
Rychlost je kinematická míra pohybu bodu, která charakterizuje rychlost, jakou se mění jeho poloha v prostoru.
Rychlost je vektorová veličina, to znamená, že je charakterizována nejen modulem (skalární složkou), ale také směrem v prostoru.
Jak víte z fyziky, při rovnoměrném pohybu lze rychlost určit podle délky dráhy, kterou urazí za jednotku času: v \u003d s / t \u003d konst
(předpokládá se, že původ cesty a čas je stejný).
V přímém pohybu je rychlost konstantní jak v absolutní hodnotě, tak ve směru a její vektor se shoduje s trajektorií.
Jednotka rychlosti v systému SI je určen poměrem délka / čas, tj. slečna .
Je zřejmé, že s křivočarým pohybem se rychlost bodu změní ve směru.
Abychom určili směr vektoru rychlosti v každém časovém okamžiku během křivočarého pohybu, rozdělíme trajektorii na nekonečně malé úseky dráhy, které lze vzhledem k jejich maličkosti považovat za přímočaré. Potom v každé sekci podmíněná rychlost v s
takový přímočarý pohyb bude směrován podél akordu a akord zase s nekonečným zmenšením délky oblouku ( Δs
má tendenci k nule), bude se shodovat s tečnou k tomuto oblouku.
Z toho vyplývá, že při křivočarém pohybu se vektor rychlosti v každém časovém okamžiku shoduje s tečnou k trajektorii (obr. 1a)... Přímočarý pohyb lze reprezentovat jako speciální případ křivočarého pohybu podél oblouku, jehož poloměr má sklon k nekonečnu (trajektorie se shoduje s tangensou).
Při nerovnoměrném pohybu bodu se modul jeho rychlosti v průběhu času mění.
Představte si bod, jehož pohyb je dán rovnicí přirozeným způsobem s \u003d f (t)
.
Pokud v krátké době Δt bod šel cestou Δs , pak jeho průměrná rychlost je:
vav \u003d Δs / Δt.
Průměrná rychlost neposkytuje představu o skutečné rychlosti v daném okamžiku (skutečná rychlost se jinak nazývá okamžitá). Je zřejmé, že čím kratší je časový interval, pro který je určena průměrná rychlost, tím blíže bude její hodnota okamžité rychlosti.
Skutečná (okamžitá) rychlost je limit, ke kterému má průměrná rychlost tendenci, protože Δt má tendenci k nule:
v \u003d lim v cf jako t → 0 nebo v \u003d lim (Δs / Δt) \u003d ds / dt.
Číselná hodnota skutečné rychlosti je tedy v \u003d ds / dt
.
Skutečná (okamžitá) rychlost pro jakýkoli pohyb bodu se rovná první derivaci souřadnice (tj. Vzdálenosti od počátku pohybu) s ohledem na čas.
Když Δt inklinující k nule, Δs má také tendenci k nule a jak jsme již zjistili, vektor rychlosti bude tangenciální (tj. shoduje se se skutečným vektorem rychlosti proti ). Z toho vyplývá, že limit vektoru podmíněné rychlosti v s , rovnající se limitu poměru vektoru posunutí bodu k nekonečně malému časovému intervalu, se rovná skutečnému vektoru rychlosti bodu.
Obr. 1
Podívejme se na příklad. Pokud může disk bez otáčení klouzat po ose fixované v daném referenčním rámci (obr. a), pak v daném referenčním rámci zjevně má pouze jeden stupeň volnosti - poloha disku je jednoznačně určena, řekněme, souřadnicí x jeho středu, měřenou podél osy. Pokud se však disk může navíc také otáčet (obr. b), pak získá ještě jeden stupeň volnosti - na souřadnici X přidá se úhel natočení φ disku kolem osy. Pokud je osa s kotoučem upnuta v rámu, který se může otáčet kolem svislé osy (obr. v), pak se počet stupňů volnosti rovná třem - až x a φ je přidán úhel otočení rámu ϕ .
Volný hmotný bod ve vesmíru má tři stupně volnosti: například karteziánské souřadnice x, y a z... Souřadnice bodů lze definovat také jako válcové ( r, 𝜑, z) a sférické ( r, 𝜑, 𝜙) referenční rámce, ale počet parametrů, které jednoznačně určují polohu bodu v prostoru, jsou vždy tři.
Hmotný bod v rovině má dva stupně volnosti. Pokud vyberete souřadnicový systém v rovině xOy, pak souřadnice xa y definovat polohu bodu v rovině, koordinovat z je shodně nula.
Volný hmotný bod na povrchu jakéhokoli druhu má dva stupně volnosti. Například: poloha bodu na povrchu Země je určena dvěma parametry: zeměpisnou šířkou a délkou.
Hmotný bod na křivce jakéhokoli druhu má jeden stupeň volnosti. Parametr definující polohu bodu na křivce může být například vzdálenost podél křivky od počátku.
Vezměme si dva hmotné body v prostoru spojené tuhou tyčí délky l (obr. 2). Poloha každého bodu je určena třemi parametry, ale jsou propojeny.
Obr
Rovnice l 2 \u003d (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2 je rovnice omezení. Z této rovnice lze libovolnou jednu souřadnici vyjádřit pomocí dalších pěti souřadnic (pět nezávislých parametrů). Proto tyto dva body mají (2 ∙ 3-1 \u003d 5) pět stupňů volnosti.
Vezměme si tři hmotné body v prostoru, ne ležící na jedné přímce, spojené třemi tuhými tyčemi. Počet stupňů volnosti těchto bodů se rovná (3 ∙ 3-3 \u003d 6) šesti.
Volné pevné tělo má obecně 6 stupňů volnosti. Poloha tělesa v prostoru ve vztahu k jakémukoli referenčnímu rámci je ve skutečnosti určena zadáním tří jeho bodů, které neleží na jedné přímce, a vzdálenosti mezi body tělesa zůstávají nezměněny pro jakýkoli jeho pohyb. Podle výše uvedeného by se počet stupňů volnosti měl rovnat šesti.
Translační pohyb
V kinematice, stejně jako ve statistice, budeme považovat všechna tuhá tělesa za absolutně tuhá.
Naprosto solidní nazývá se hmotné těleso, jehož geometrický tvar a rozměry se nemění pod žádnými mechanickými vlivy jiných těles a vzdálenost mezi dvěma jeho body zůstává konstantní.
Pevná kinematika, stejně jako dynamika tuhého těla, je jednou z nejobtížnějších částí kurzu teoretické mechaniky.
Problémy s kinematikou tuhého těla se dělí na dvě části:
1) úkol pohybu a stanovení kinematických charakteristik pohybu těla jako celku;
2) stanovení kinematických charakteristik pohybu jednotlivých bodů těla.
Existuje pět typů tuhého pohybu těla:
1) translační pohyb;
2) otáčení kolem pevné osy;
3) plochý pohyb;
4) rotace kolem pevného bodu;
5) volný pohyb.
První dva se nazývají nejjednodušší tuhé pohyby těla.
Začněme uvažováním translačního pohybu tuhého tělesa.
Překladové pohyb tuhého tělesa se nazývá tak, že se každá přímka nakreslená v tomto tělese pohybuje a zůstává rovnoběžná s jeho počátečním směrem.
Translační pohyb by neměl být zaměňován s přímočarým pohybem. Během translačního pohybu těla mohou být trajektoriemi jeho bodů jakékoli zakřivené čáry. Zde jsou nějaké příklady.
1. Tělo automobilu na rovné vodorovné části silnice se pohybuje translačně. V tomto případě budou trajektorie jeho bodů přímky.
2. Partner AB (Obr. 3), když se kliky O 1 A a O 2 B otáčejí, pohybuje se také translačně (jakákoli přímka, která je v ní nakreslena, zůstává rovnoběžná s původním směrem). Současně se body partnera pohybují v kruzích.
Obr
Pedály jízdního kola se během pohybu pohybují postupně vzhledem k jeho rámu, písty ve válcích spalovacího motoru vzhledem k válcům, kabiny ruských kol v parcích (obr. 4) vzhledem k Zemi.
Obr
Vlastnosti translačního pohybu jsou určeny následující větou: během translačního pohybu všechny body těla popisují stejné (shodné, když se překrývají) trajektorie a v každém časovém okamžiku mají stejnou rychlost a zrychlení ve velikosti a směru.
Pro důkaz zvažte tuhé tělo v translačním pohybu vzhledem k referenčnímu rámci Oxyz... Vezměte dva libovolné body v těle A a V, jejichž pozice v daném okamžiku t jsou určeny vektory poloměrů a (obr. 5).
Obr
Nakreslíme vektor spojující tyto body.
V tomto případě délka AB konstantní, jako vzdálenost mezi body tuhého tělesa a směrem AB zůstává nezměněno, protože tělo se pohybuje vpřed. Tedy vektor AB během celého pohybu těla zůstává konstantní ( AB\u003d const). V důsledku toho se trajektorie bodu B získá z trajektorie bodu A paralelním posunutím všech jeho bodů konstantním vektorem. Proto trajektorie bodů A a V budou skutečně stejné (shodné překrývající se) křivky.
Chcete-li zjistit rychlosti bodů A a Vrozlišujeme obě strany rovnosti v čase. Dostaneme
Ale derivace konstantního vektoru AB je nula. Deriváty vektorů as ohledem na čas dávají rychlosti bodů A a V... Ve výsledku to zjistíme
ty. že rychlost bodů A a V těla v každém okamžiku jsou stejná jak v absolutní hodnotě, tak ve směru. Užívání časových derivátů z obou stran získané rovnosti:
Proto zrychlení bodů A a V těla v každém okamžiku jsou také stejná co do velikosti a směru.
Protože body A a V byly zvoleny libovolně, pak ze zjištěných výsledků vyplývá, že ve všech bodech těla budou jejich trajektorie, stejně jako rychlosti a zrychlení v každém okamžiku stejné, stejné. Věta je tedy prokázána.
Z věty vyplývá, že translační pohyb tuhého tělesa je určen pohybem kteréhokoli z jeho bodů. V důsledku toho je studium translačního pohybu tělesa omezeno na problém kinematiky bodu, který jsme již zvážili.
V translačním pohybu se rychlost společná pro všechny body těla nazývá rychlost translačního pohybu těla a zrychlení je zrychlení translačního pohybu těla. Vektory a mohou být zobrazeny připojené k jakémukoli bodu těla.
Všimněte si, že koncept rychlosti a zrychlení těla má smysl pouze pro translační pohyb. Ve všech ostatních případech se body těla, jak uvidíme, pohybují různými rychlostmi a zrychleními a termíny<<скорость тела>\u003e nebo<<ускорение тела>\u003e protože tyto pohyby nemají smysl.
Obr
Během času ∆t provede těleso pohybující se z bodu A do bodu B posun rovnající se tětivě AB a cestující rovnou délce oblouku l.
Vektor poloměru se otáčí o úhel ∆φ. Úhel je vyjádřen v radiánech.
Rychlost tělesa podél trajektorie (kružnice) je směrována tangenciálně k trajektorii. Říká se tomu lineární rychlost. Modul lineární rychlosti se rovná poměru délky oblouku kružnice l do časového intervalu ∆t, po který se tento oblouk prochází:
Skalární fyzikální veličina, číselně rovná poměru úhlu rotace vektoru poloměru k časovému intervalu, během kterého k této rotaci došlo, se nazývá úhlová rychlost:
Jednotkou SI úhlové rychlosti jsou radiány za sekundu.
Při rovnoměrném pohybu kolem kruhu jsou úhlová rychlost a modul lineární rychlosti konstantní hodnoty: ω \u003d const; v \u003d konst.
Polohu tělesa lze určit, jsou-li známy modul vektoru poloměru a úhel φ, který vytváří s osou Ox (úhlová souřadnice). Pokud se v počátečním časovém okamžiku t 0 \u003d 0 úhlová souřadnice rovná φ 0 a v okamžiku t se rovná φ, pak úhel rotace ∆φ vektoru poloměru během času ∆t \u003d tt 0 se rovná ∆φ \u003d φ-φ 0. Potom z posledního vzorce můžete získat kinematickou rovnici pohybu hmotného bodu podél kruhu:
Umožňuje vám kdykoli určit polohu těla t.
Vzhledem k tomu dostaneme:
Vzorec pro vztah mezi lineární a úhlovou rychlostí.
Časové období T, během kterého tělo provede jednu úplnou revoluci, se nazývá období otáčení:
Kde N je počet otáček těla během doby Δt.
Během času ∆t \u003d T tělo projde cestu l\u003d 2πR. Tudíž,
Když ∆t → 0, úhel ∆φ → 0, a proto β → 90 °. Kolmo na tečnu ke kružnici je poloměr. Proto je směrován podél poloměru do středu, a proto se nazývá dostředivé zrychlení:
Směr modulu se neustále mění (obr.8). Proto tento pohyb není rovnoměrně zrychlen.
Obr
Obr
Poté bude poloha tělesa v kterémkoli okamžiku jednoznačně určena úhlem φ mezi těmito polorovinami pořízenými s odpovídajícím znaménkem, kterému budeme říkat úhel otáčení tělesa. Úhel φ budeme považovat za kladný, pokud je vyčleněn z pevné roviny ve směru proti směru hodinových ručiček (pro pozorovatele dívajícího se od kladného konce osy Az), a záporný, pokud je ve směru hodinových ručiček. Vždy budeme měřit úhel φ v radiánech. Chcete-li kdykoli znát polohu těla, musíte znát závislost úhlu φ na čase t, tj.
Rovnice vyjadřuje zákon rotačního pohybu tuhého tělesa kolem pevné osy.
Když se absolutně tuhé tělo otáčí kolem pevné osy úhly rotace vektoru poloměru různých bodů těla jsou stejné.
Hlavními kinematickými charakteristikami rotačního pohybu tuhého tělesa jsou jeho úhlová rychlost ω a úhlové zrychlení ε.
Pokud se v průběhu časového intervalu ∆t \u003d t 1 -t tělo otočí o úhel ∆φ \u003d φ 1 -φ, pak bude numericky průměrná úhlová rychlost tělesa pro tento časový interval. V limitu jako ∆t → 0 to zjistíme
Numerická hodnota úhlové rychlosti tělesa v daném čase se tedy rovná první derivaci úhlu otáčení v čase. Znaménko ω určuje směr otáčení tělesa. Je dobře vidět, že když je rotace proti směru hodinových ručiček, ω\u003e 0, a když je ve směru hodinových ručiček, pak ω<0.
Rozměr úhlové rychlosti je 1 / T (tj. 1 / čas); jako jednotka měření obvykle používají rad / s nebo, což je také 1 / s (s -1), protože radián je bezrozměrná veličina.
Úhlovou rychlost tělesa lze vyjádřit jako vektor, jehož modul je | | a který je směrován podél osy otáčení tělesa ve směru, ze kterého je vidět rotace proti směru hodinových ručiček (obr. 10). Takový vektor okamžitě určuje modul úhlové rychlosti a osu otáčení a směr otáčení kolem této osy.
Obr
Úhel otáčení a úhlová rychlost charakterizují pohyb absolutně tuhého tělesa jako celku. Lineární rychlost libovolného bodu absolutně tuhého tělesa je úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení:
Při rovnoměrném otáčení absolutně tuhého tělesa jsou úhly otáčení tělesa pro stejné časové intervaly stejné, nedochází k žádnému tangenciálnímu zrychlení v různých bodech tělesa a normální zrychlení bodu tělesa závisí na jeho vzdálenost k ose otáčení:
Vektor je směrován podél poloměru trajektorie bodu k ose otáčení.
Úhlové zrychlení charakterizuje časovou změnu úhlové rychlosti tělesa. Pokud se během časového intervalu ∆t \u003d t 1 -t úhlová rychlost tělesa změní o hodnotu ∆ω \u003d ω 1 -ω, pak bude číselná hodnota průměrného úhlového zrychlení tělesa pro tento časový interval. V limitu jako ∆t → 0 najdeme
Numerická hodnota úhlového zrychlení tělesa v daném čase se tedy rovná první derivaci úhlové rychlosti nebo druhé derivaci úhlu rotace tělesa s ohledem na čas.
Rozměr úhlového zrychlení je 1 / T 2 (1 / čas 2); jako jednotka měření se obvykle používá rad / s 2 nebo, což je stejné, 1 / s 2 (s-2).
Pokud se modul úhlové rychlosti zvyšuje s časem, rotace tělesa se nazývá zrychlená a pokud se sníží, nazývá se zpomalená. Je snadné vidět, že rotace bude zrychlena, když hodnoty ω a ε mají stejné znaky, a zpomalena, když se budou lišit.
Úhlové zrychlení tělesa (analogicky s úhlovou rychlostí) lze také zobrazit jako vektor ε směrovaný podél osy otáčení. Čím
Směr ε se shoduje se směrem ω, když se těleso otáčí se zrychlením a (obr. 10, a), opačný k ω během pomalé rotace (obr. 10, b).
Obr. 12
2. Zrychlení tělesných bodů. Najít bod zrychlení M použijeme vzorce
V našem případě ρ \u003d h. Nahrazení hodnoty proti ve výrazech a τ a a n dostaneme:
nebo konečně:
Tangenciální složka zrychlení a τ je směrována tangenciálně k trajektorii (ve směru pohybu se zrychlenou rotací těla a v opačném směru s pomalou rotací); normální složka a n je vždy směrována po poloměru MC k ose otáčení (obr.12). Plné bodové zrychlení Mbude
Odchylka celkového vektoru zrychlení od poloměru kruhu popsaného bodem je určena úhlem μ, který se vypočítá podle vzorce
Dosazením zde hodnot a τ an dostaneme
Protože ω a ε mají stejnou hodnotu v daném čase pro všechny body tělesa, zrychlení všech bodů rotujícího tuhého tělesa jsou úměrná jejich vzdálenostem od osy otáčení a tvoří v daném čase stejný úhel μ s poloměry kruhů, které popisují ... Pole zrychlení bodů rotujícího tuhého tělesa má tvar znázorněný na obr.
Obr.13Obr.14
3. Vektory rychlosti a zrychlení bodů těla. Abychom našli výrazy přímo pro vektory v a a, kreslíme z libovolného bodu O sekery AB vektor poloměru bodu M (obr. 13). Pak h \u003d r ∙ sinα a podle vzorce
Mo
Vytvářejte flash videa pomocí doplnění pohybuale tento pohyb byl v přímce. Nyní je čas zjistit, jak se pohybovat po dané trajektorii. K definování trajektorie potřebujeme další vrstvu.
Otevřít macromedia Flash Professional 8a vytvořte v něm nový dokument. Vrstvy se vytvářejí na dočasné pásku kliknutím na ikonu Vložte vrstvu (vložte vrstvu). Chcete-li vytvořit novou vrstvu, můžete také vybrat z nabídky Vložit - Časová osa - Vrstva ... Tím se vytvoří normální vrstva. Možná jste to již udělali, když jste vytvořili bez cesty.
Ale teď potřebujete vodicí vrstvu. Vytváří se pomocí ikony Přidat průvodce pohybem (přidat průvodce pohybem) nebo pomocí nabídky Vložit - Časová osa - Přidat průvodce pohybem
... Vytvořte jej, zobrazí se na dočasné pásku nad hlavní vrstvou. Pokud je vodicí vrstva nižší, nebude to fungovat. V takovém případě jej musíte přetáhnout myší.
V hlavní vrstvě vyberte první snímek, od kterého se bude animace spouštět, a pokud to není klíč, udělejte to klávesou pomocí nabídky Vložit - Časová osa - Klíčový snímek (nebo kliknutím pravým tlačítkem na něj a výběrem Vložte klíčový snímek ). Umístěte předmět na tento rám. Může to být importovaný obrázek, skupina objektů nebo text. Pokud importujete obrázek, nejprve jej připravte v grafickém editoru a poté v macromedia Flash vyberte z nabídky Soubor - Import - Import na plochu ... Pokud je objekt nakreslen, seskupte jej pomocí nabídky Upravit - převést na symbol .
Poté vyberte poslední snímek v hlavní vrstvě, kterým animace skončí, a udělejte z tohoto snímku klíč. V tomto rámci přetáhněte objekt do konečné polohy, kde bude na konci doplnění.
Vyberte první snímek ve vodicí vrstvě, pokud není klíčová, udělejte z ní klíč a umístěte na ni cestu: vyberte první klíčový snímek ve vodicí vrstvě a vytvořte cestu pomocí nástrojů, které vytvářejí čáru . Může to být přerušovaná čára, křivka, část kruhu atd.
Poté vyberte první snímek a přetáhněte objekt do počátečního bodu cesty. Objekt by měl kotvit ve výchozím bodě. Uvidíte, jak bude přitahován k výchozímu bodu - obrysy objektu budou silnější.
Chcete-li nakreslit objekt v programu Macromedia Flash Professional 8, v nabídce Pohled - Přichytávání položky by měly být zahrnuty Přichytit k vodítkům (uchopte vodítka) a Přichytit k objektům (zachycení objekty). Zkontrolujte také, zda je položka zahrnuta Přichytit zarovnání (zachycení zarovnáním). Přestože poslední bod neovlivňuje přitažlivost objektu k trajektorii, je stále lepší jej také zapnout.
Teď jdi macromedia Flash do koncového rámu. Vyberte jej ve vrstvě průvodce a vyberte z nabídky Vložit - Časová osa - Rámeček ... Přidá se běžný rámeček, nikoli klíčový (pro přidání můžete také kliknout pravým tlačítkem na rámeček a vybrat Vložte rámeček ). Na posledním snímku v hlavní vrstvě tedy budete mít klíčový snímek a ve vodicí vrstvě jednoduchý snímek.
Poté v posledním snímku vytáhněte objekt do koncového bodu cesty. Dále vytvořte animaci pohybu v Macromedia Flash: vyberte nějaký mezilehlý snímek mezi začátkem a koncem a na panelu Vlastnosti Vyberte si ze seznamu Tween (náplň personálu) Pohyb (provoz). Pokud chcete, aby se objekt otáčel ve směru trajektorie a nejen se pohyboval, zapněte položku na panelu vlastností Orientujte se na cestu (pokud tuto vlastnost nevidíte, klikněte na bílý trojúhelník v pravém dolním rohu panelu vlastností).
Také na panelu vlastností v Macromedia Flash Professional 8 můžete pro animaci přidat následující vlastnosti:
Měřítko (scale): je-li tato možnost povolena, dojde-li ke změně velikosti nebo tvaru objektu v počátečních nebo koncových klíčových snímcích, dojde během doplnění k této změně hladce.
Ulehčit (zpomalení): používá se, když chcete zrychlit nebo zpomalit pohyb. Chcete-li použít tuto možnost, posuňte jezdec nahoru nebo dolů nebo do pole zadejte čísla od -100 do 100.
Točit se (rotace): objekty se při pohybu otáčejí ve směru nebo proti směru hodinových ručiček, do okna se zapíše počet otáček objektu během animace pohybu.
Úkol: vytvořit bleskový film s animací pohybu po trajektorii. Tady je to, co jsem dostal:
V tomto bleskovém videu jsem použil kromě animace pohybu (loď) také (slova) a (vlny).
Video o tom, jak vytvořit animaci pohybu podél cesty v Macromedia Flash Professional 8
Podrobnější informace naleznete v sekcích „Všechny kurzy“ a „Užitečnost“, do kterých lze vstoupit prostřednictvím horního menu webu. V těchto částech jsou články seskupeny podle témat do bloků, které obsahují nejpodrobnější (pokud je to možné) informace o různých tématech.
Můžete se také přihlásit k odběru blogu a dozvědět se o všech nových článcích.
Netrvá to moc času. Stačí kliknout na odkaz níže:
s \u003d s(t), (10)
kde s - souřadnice oblouku měřená od vybraného počátku na trajektorii. Podepsat sjsou určeny v souladu se zvoleným vztažným směrem oblouků.
Při určování pohybu bodu přirozenou cestou je jeho rychlost zjištěna podle vzorce
kde je vektor tečny jednotky směřující ke zvyšujícím se hodnotám souřadnice oblouku s.
Rychlost bodu jako algebraické veličiny je určena vzorcem
Když proti \u003e 0, bod se pohybuje ve směru zvyšování a pro proti < 0 - в сторону убывающих значений s.
Pokud je závislost známa v \u003d v(t), pak se souřadnice oblouku najde podle vzorce
, (13)
kde s 0 - hodnota souřadnice oblouku v t= 0.
Pokud se počátek oblouků shoduje s počáteční polohou bodu, pak s 0 \u003d 0 a poté
Protože pohyblivý bod může změnit směr pohybu podél trajektorie, dráhy σ projetý bodem v časovém intervalu (0, t), je definován jako součet délek oblouků jednotlivých úseků, na každém z nich je rychlost proti zachovává své znamení.
Tím pádem,
σ \u003d | s 1 - s 0 | + | s 2 - s 1 | + ... + | s - s n |. (15)
kde s 1 , s 2 , .... s n - hodnoty souřadnic oblouku občas t 1 , t 2 ,… T npři které rychlosti proti mění své znamení.
Příklad 1. Neroztažitelné lano se odvíjí ze stacionárního bubnu o poloměru R, zbývající čas stále napnutý (obr. 20). Určete pohybovou rovnici podél trajektorie kabelového bodu umístěného v počáteční době na bubnu, pokud je úhel φ
definování polohy poloměru nakresleného k bodu Nuvolnění kabelu, je specifikováno jako rostoucí funkce času ( φ
> 0).
Rozhodnutí. Nakreslíme osu Ach středem bubnu a počáteční polohou dotyčného bodu
Obr. 20 M u. Vzhledem k neroztažitelnosti kabelu se délka stočeného konce rovná délce příslušného oblouku bubnu, tj. NM \u003d= Rφ.
Z obrázku najdeme
X \u003d ZAPNUTO cos φ + NM hřích φ \u003d R cos φ + R. φ hřích φ ;
y \u003d - ZAPNUTO hřích φ + NM cos φ = - R hřích φ - Rφcos φ .
Při navíjení lana úhel φ = φ (t), proto jsou tyto rovnice pohybovými rovnicemi bodu M.
Najdeme projekci rychlosti bodu na vybraných osách:
tudíž,
.
Vezmeme-li v úvahu, že φ = 0, s\u003d 0 pro t\u003d 0, podle vzorce (14) najdeme
.
Pokud místo φ nahradit známou funkci φ = φ (t), pak
to znamená, že získáme pohybovou rovnici bodu podél trajektorie.
Příklad 2. Pohyb bodu po trajektorii je dán rovnicí 
(s - v metrech, t -během několika sekund). Určete hodnotu souřadnice oblouku s v tuto chvíli t\u003d 15 sa cesta σ
projet bodem během prvních 15 s.
Rozhodnutí. Určete rychlost bodu
.
Najděte okamžiky v čase t 1 , t 2, ..., při kterém rychlost bodu mění své znaménko:
,
odkud t n +1 \u003d (-l) n+6n z ( p= 0;1; 2; ...).
V důsledku toho během prvních 15 s rychlost změní své znaménko v časových okamžicích: t 1 \u003d l s, t 2 \u003d 5 s, t 3 \u003d 13 s.
Určete hodnoty souřadnice oblouku s v těchto časových okamžicích i v tuto chvíli
t 0 \u003d 0 a v tuto chvíli t 4 \u003d 15 s:
s 0 \u003d 12 m;
m;
m;
m;
m.
Pomocí vzorce (15) najdeme cestu, kterou prošel bod za prvních 15 s:
П \u003d | π + 6√З-l2 | + | 5π-6√3-π-6√3 | + | 13π + 6√3-5π + 6√3 | +
+ | 15π-13π-6√3 | \u003d 59,7 m.
Příklad 3. Určete pohybovou rovnici bodu podél trajektorie, pokud jsou jeho pohybové rovnice uvedeny v kartézských souřadnicích:
x = a (2 cos.) t + cos 2 t), y \u003d a(2sin t-hřích 2 t), 0 ≤ t ≤.
Souřadnice oblouku se počítá od počáteční polohy bodu ve směru počátečního pohybu.
Rozhodnutí. Uvedené rovnice jsou parametrické rovnice hypocykloidu, tj. Přímka, která je popsána bodem kruhu s poloměrem a, válcování uvnitř kruhu o poloměru 3 a, a t se rovná úhlu otáčení středové čáry z její počáteční polohy.
Pro určení s nalézt proti(t):
= - 2a(hřích t + hřích 2 t),
2a (cos t - cos 2 t),
odtud 
.
Všimněte si, že množství proti(t) je vždy kladné, protože bod nemění svůj směr pohybu. To vyplývá z výše uvedené interpretace hnutí. Analyticky to lze ověřit zvážením změny úhlu φ tvořený poloměrem vektoru bodu s osou úsečky:
tg φ = x / y; φ \u003d oblouk tg x / y,
Jmenovatel a čitatel jsou vždy kladné, protože
.
Bod se tedy vždy pohybuje jedním směrem ( φ zvyšuje) a rychlost si zachovává konstantní znaménko, které se shoduje s jeho původním znaménkem:
.
Pro s ( t) dostaneme
.
Tento integrál nelze vypočítat v elementárních funkcích (pro libovolné t). Pojďme to vypočítat podle webů.
pak s(t)= 
.
Zejména pro t\u003d 2π / 3
s \u003d(2π / 3) \u003d 16 a/3.
Použijte tento vzorec pro velké t to je nemožné. Například pro t = 4π
/ 3 vedlo by to k absurdnímu výsledku s\u003d 0. Pro, 
.
.
1.2.1.* Určete pohybovou rovnici bodu podél trajektorie a také hodnotu souřadnice oblouku s a cesta prošla σ do okamžiku t \u003d 5 s, pokud je jeho rychlost proti dané rovnicí:
1) proti\u003d 10 cm / s;
2) proti\u003d 2 cm / s (0 ≤ t≤ 3);
proti= (5 - t) cm / s (3 ≤ t≤ 5);
3) v \u003d(2t +1) cm / s;
4) proti= (3 - t) cm / s;
5) proti\u003d cm / s;
6) 
cm / s;
7) 
cm / s;
8) v \u003d(t 2 - 3t +2) cm / s.
Odpovědi:
1) s= 10t cm; s| t \u003d 5c \u003d 50 cm; σ | t \u003d 5c \u003d 50 cm;
2) s= 2tcm (0 ≤ t≤ 3); s= (5t- - 4,5) cm (3 ≤ t≤ 5);
s| t \u003d 5c \u003d 8 cm; σ | t \u003d 5 s \u003d 8 cm;
3) s= (t 2 + t) cm; s| t \u003d 5c \u003d 30 cm; σ | t \u003d 5c \u003d 30 cm;
4) s=(3t- ) cm; s| t \u003d 5c \u003d 2,5 cm; σ | t \u003d 5c \u003d 6,5 cm;
5) s\u003d (1- cos ) cm; s| t \u003d 5c \u003d cm; σ | t \u003d 5c \u003d 2 cm;
6) s= (3t+ hřích ) cm; s| t \u003d 5c \u003d 15 cm; σ | t \u003d 5c \u003d 15 cm;
7) s= (πt+5 hřích ) cm; s| t \u003d 5c \u003d 5 π cm;
σ | t \u003d 5c \u003d cm;
8) s= 
cm; s| t \u003d 5c \u003d cm; σ | t \u003d 5c \u003d viz.
1.2.2.* Určete rovnici pohybu bodu trajektorie, pokud jsou uvedeny rovnice jejího pohybu v kartézských souřadnicích. Souřadnice oblouku s počítat od počáteční polohy bodu ve směru počátečního pohybu:
1.2.3 . * Poloměr kola R válečky bez klouzání po vodorovné kolejnici střední rychlostí . Určete pohybovou rovnici podél trajektorie bodu ráfku kola, který byl v počátečním okamžiku v bodě dotyku s kolejnicí. Jaká je vzdálenost s iprojde bod podél trajektorie od začátku pohybu do nejvyšší polohy?
Odpověď: s= 8Rhřích 2; s i = 4R... Výraz pro s pravda jen do této chvíle t \u003d na kterém s \u003d8R.Poté musíte vypočítat s stejné jako v příkladu 3.
1.2.4. s \u003d 15 + 4 hříchy πt. Určete nejbližší časový bod po zahájení pohybu t 1, ve kterém s 1 \u003d 17 m. (0,167)
1.2.5. Bod se pohybuje po trajektorii podle rovnice s = 0,5t 2 + 4t... Určete, v jakém časovém okamžiku dosáhne rychlost bodu 10 m / s. (6)
1.2.6. Bod se pohybuje po dané trajektorii rychlostí v \u003d5 m / s. Definujte křivočarou souřadnici s bodů v čase t \u003d 18 s, pokud v
t 0 \u003d 0 souřadnice s 0 \u003d 26 m. (116)
1.2.7 ... Bod se pohybuje po křivce rychlostí proti= 0,5 t. Určete jeho souřadnici v daném okamžiku t \u003d 10 s, pokud v t 0 \u003d 0 souřadnice bodu s 0 = 0. (25)
Animace pohybu po dané trajektorii se provádí pomocí speciálu vedenívrstva . Je umístěn přímo nad vrstvou, ve které je umístěn animovaný objekt.
Příklad 1.Vytvořte animaci jablka padajícího z věže po zakřivené cestě
Příklad 2.Animujte rotaci měsíce
kolem Země s periodou 3 s.
Import obrázků hvězdné oblohy
(sky.jpg),Země (zem.gif)a měsíc (luna.gif)
do různých vrstev. Pojďme transformovat obraz měsíce na
Nad vrstvu „měsíc“ přidejte vodicí vrstvu, na kterou nakreslíme cestu (ovál s vypnutou výplní). Pomocí gumy odstraňte malý kousek uzavřené oběžné dráhy, abyste se ujistili, že praskla na začátek a konec trajektorie.
Vyberte 36. rámeček ve všech vrstvách a přeměňte ho na klíčový.
Připojme měsíc k začátku a konci trajektorie a automaticky vyplňme rámečky ve vrstvě „měsíc“.
4. Ke zmírnění stresu se provádí minuta fyzického tréninku.
5. K upevnění studovaného materiálu jsou studenti vyzváni k implementaci uvažovaných příkladů do počítače.
Další úkoly:
Vytvořte animace podle navrhovaných ukázek:
1. Balón stoupá nahoru. Mraky v popředí se pohybují vodorovně.
2. Dvě auta se pohybují proti sobě na pozadí nehybných stromů
3. Míč se pohybuje po vytvořené trajektorii.
4. Loď se pohybuje vodorovně a houpá se na vlnách
5. Listy padají a jsou orientovány zakřivenými cestami.
6. Hodina je shrnuta. Komentoval a označil. Jsou vysvětleny otázky, které způsobovaly největší potíže v průběhu úkolů.
Dotazy:
1. Seznam kroků pro vytvoření animace s více pohyby.
2. Jak jsou uspořádány klíčové snímky?
3. Co se rozumí animací pohybu po trajektorii?
4. Seznam kroků pro vytvoření doplnění pohybu podél cesty
5. Jak se vytváří trajektorie?
Domácí úkol: § 17–18, otázky