С помощью спектральных характеристик оценивают внутренний состав (спектр) сигнала. Для этого сигнал x(t) представляют в форме обобщенного ряда Фурье, раскладывая его по системе базисных функций Т k (t)

где С к - постоянные коэффициенты, отражающие вклад функции Ч^(?) в формирование значений сигнала на рассматриваемом промежутке времени.

Возможность представления сложного сигнала x(t) в виде суммы простых сигналов "РДО оказывается особенно важной для линейных динамических систем. В таких системах выполняется принцип суперпозиции , т.е. их реакция на сумму воздействий (сигналов) равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Поэтому, зная реакцию линейной системы на простой сигнал, можно, суммируя результаты, определить ее реакцию на любой другой сложный сигнал.

Выбор функций У k (t) подчиняют требованиям максимальной точности приближения сигнала х(t) рядом (7.21) при минимальном числе членов этого ряда и, по возможности, снижению вычислительных трудностей, возникающих при определении коэффициентов ряда С к.

В качестве базисных функций наиболее широкое применение получили вещественные тригонометрические функции

и комплексные экспоненциальные функции

На них строится классический спектральный анализ сигналов. Вместе с тем возможно применение других систем базисных функций (функций Тейлора, Уолша, Лагерра, Эрмита, Лежандра, Чебышева, Котельникова и др. 121), что в ряде случаев позволяет, учитывая специфику приближаемой функции x(t), сократить число членов ряда (7.21) при сохранении заданной погрешности приближения.

В последние годы появилась новая, весьма перспективная система базисных функций, называемых вейвлетами. В отличие от гармонических функций, они способны, изменяя свою форму и свойства, адаптироваться к локальным особенностям приближаемого сигнала. В результате становится возможным простое представление сложных сигналов (в том числе с локальными скачками и разрывами) наборами вейвлетов того или иного типа .

При использовании тригонометрических базисных функций (7.22), ряд (7.21) приобретает форму классического тригонометрического ряда Фурье

где Q = 2п/Т - частота основной гармоники ряда (Г - период сигнала); к = 1, 2, 3,... - целое число; ak, bk - действительные числа (коэффициенты Фурье), вычисляемые но формулам

В этих формулах, как и прежде (см. (7.20)), t 0 - произвольное число, которое можно выбирать из соображений удобства вычисления интегралов (7.25), так как значения этих интегралов от величины t 0 не зависят; x T (t) - базовый импульс сигнала (см. рис. 7.3, в).

Коэффициент а 0 определяет удвоенное среднее (за период) значение сигнала, остальные коэффициенты a k > b k {k = 1, 2, 3, ...) - вклад к -й гармоники ряда Фурье (7.24) в формирование мгновенных значений сигнала х(?).

Тригонометрический ряд Фурье (7.24) можно записать в двух других формах: в форме разложения по синусам

и в форме разложения по косинусам

где Л 0 /2 = а 0 /2 - постоянная составляющая сигнала; A k - амплитуда k-и гармоники ряда, вычисляемая по формуле

Начальные фазы этих гармоник вычисляются из соотношений

Совокупность амплитуд гармонических составляющих периодического сигнала {А к }°? ={ называется амплитудным спектром этого сигнала. Совокупность начальных фаз этих составляющих {ф/^}^ =1 - фазовым спектром сигнала.

Используя 5-функцию Дирака 8(?), оба спектра можно представить решетчатыми функциями частоты

т.с. амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются дискретными спектрами. Это отличает периодический сигнал от других сигналов, обладающих сплошными спектрами.

Таким образом, периодический сигнал можно представить в виде суммы гармоник (7.24). При этом частота каждой гармонической составляющей ряда Фурье кратна частоте основной гармоники?2, зависящей от периода сигнала Т.

Чем больше таких гармоник, тем меньше погрешность приближения функции x(t) конечной суммой ряда Фурье (7.24). Исключением являются точки разрыва непрерывности функции x(i). В окрестности таких точек проявляется так называемое явление Гиббса |2|. Согласно этому явлению в окрестностях точек разрыва конечные суммы ряда Фурье

образуют осциллирующие «хвосты», высота которых не уменьшается с ростом числа учитываемых гармоник ряда Фурье N - она составляет примерно 9% от величины скачка функции x{t) в точке разрыва.

Для вычисления амплитуды и начальной фазы &-й гармоники периодического сигнала можно вместо формул (7.28) и (7.29) использовать формулы

где Х т = Х т (р) = L{x T (t)} индекс Т переменной х - изображение по Лапласу базового импульса сигнала, определяемое по формуле (см. приложение 2)

i - мнимая единица; & = 0,1,2,... - положительное целое число. Использование этих формул исключает необходимость вычисления интегралов (7.25), что значительно упрощает расчеты. Покажем пример такого расчета.

Пример 7.1

Определить амплитудный спектр периодического сигнала Решение

На рис. 7.3, а , показан график такого сигнала. Видно, что сигнал имеет период Т = я. Следовательно, частота основной гармоники соответствующего ряда Фурье (7.24) равна Q = 2п/Т = 2 с -1 . Принимая t 0 = 0, x T (t) = sin? (для 0 t

Рис. 73.

а - форма сигнала; б - амплитудный спектр сигнала

Следовательно, А 0 /2 = 2/п, A k = 4/я(4& 2 - 1), щ = л, где k = 1,2, 3,т.е. разложение функции |sin(?)| в тригонометрический ряд Фурье имеет вид

Примечание: здесь принято ф/, = л (а нс у к = 0) из-за использования знака «минус» перед суммой гармоник ряда.

На рис. 7.3, б показан амплитудный спектр рассматриваемого сигнала. Значение амплитуды?-й гармоники ряда А к представлено вертикальным отрезком соответствующей длины, в основании которого указан номер гармоники.

Следует иметь в виду, что амплитуды А к некоторых гармоник ряда Фурье могут быть равны нулю. Кроме того, необязательным является монотонное уменьшение амплитуд этих гармоник с ростом номера гармоники, как это имеет место на рис. 7.3, б.

Однако во всех случаях должно выполняться условие lim А к = 0, вытекающее из тре-

бования сходимости ряда Фурье.

Решим задачу с использованием формул (7.32). Для этого сначала найдем изображение по Лапласу базового импульса сигнала x T (t )

Подставляя сюда p = ikQ = 2ik (где i - мнимая единица, k = 1, 2, 3,...), получим что совпадает с прежними результатами.

В технических приложениях часто пользуются комплексной формой записи ряда Фурье

В этом случае в качестве базисных функций используются комплексные экспоненциальные функции (7.23). Поэтому коэффициенты С п ряда (7.36) становятся комплексными . Они вычисляются по формуле

где, как и в формуле (7.6), индексная переменная п может быть как положительным, так и отрицательным целым числом.

При использовании комплексной формы ряда Фурье (7.36) спектром амплитуд периодического сигнала x(t) называют множество абсолютных величин комплексных коэффициентов Фурье С п

а спектром фаз - множество главных аргументов этих коэффициентов

Множество величин {С% }^ > = _ называется спектром мощности периодического сигнала, а множество комплексных чисел {С п - спектральной последовательностью периодического сигнала. Именно эти три характеристики (спектр амплитуд, спектр фаз и спектр мощности) относятся к основным спектральным характеристикам периодического сигнала.

В отличие от амплитудного и фазового спектров периодического сигнала, представленного в форме тригонометрического ряда Фурье (7.24), спектры того же сигнала, построенные с использованием комплексных коэффициентов Фурье (7.37), оказываются двухсторонними. Это является следствием наличия в (7.36) «отрицательных частот» пО. (для отрицательных значений п). Последние, разумеется, не существуют в реальности. Они только отражают используемое при формировании комплексного ряда Фурье представление экспоненциальной гармонической функции е~ т в виде единичного вектора, вращающегося по часовой стрелке с угловой скоростью со.

Если существует изображение по Лапласу базового импульса периодического сигнала Х Т (р) = L{x T (t)}, то спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала можно вычислять по формулам

Известны и успешно применяются на практике алгоритмы так называемого быстрого преобразования Фурье , благодаря которым удается настолько снизить время вычисления коэффициентов Фурье, что спектры сигналов при их обработке получают практически в режиме реального времени .

В заключение отметим три наиболее важных свойства спектральных характеристик периодического сигнала.

• 1. Если x(t) - четная функция, то мнимые составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье Im{C w } равны нулю и, напротив, если эта функция нечетная, то вещественные составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье Re{C„} равны нулю.
• 2. В точке разрыва первого рода t = t r функции x(t) сумма ряда Фурье S(t) равна полусумме предельных значений функции при приближении аргумента к точке разрыва t = t r слева и справа, т.е.

Примечание : если значения функции х{€) на концах +Г) базового импульса x T (t) не равны между собой, то при периодическом продолжении импульса эти точки становятся точками разрыва первого рода.

3. Мощности периодического сигнала во временной и частотной областях равны между собой, т.е.

Это соотношение выражает теорему Парсеваля.

Наличие в формуле (7.36) «отрицательных частот» nQ. (для гг

Цель работы- ознакомление с принципами измерения спектрального состава электрических сигналов, получение навыков работы с анализаторами спектра, измерение спектрального состава электрических сигналов.

Программа работы.

• 1. Проверка основных технических характеристик анализатора спектра.
• 2. Измерение спектрального состава периодических импульсных сигналов.
• 3. Измерение спектрального состава модулированных колебаний.

Основные положения.

Спектральный состав электрических сигналов. Для анализа формы электрических сигналов широко используют измерение их спектрального состава (частотного). Сложные периодические сигналы полностью описываются амплитудами и фазами их спектральных составляющих, однако в большинстве случаев достаточно иметь информацию об амплитуде и частоте составляющих спектра сигнала, т.е. об амплитудно-частотном спектре.

Теоретически спектральный состав периодического сигнала можно определить в результате разложения его в ряд Фурье:

спектральный электрический сигнал анализатор

где A 0 - постоянная составляющая сигнала, А к - амплитуда к - й гармоники, - начальная фаза к - й гармоники, W -частота первой (основной) гармоники, к - порядковый номер гармоники.

Из выражения (1) следует, что спектр периодического сигнала является дискретным или линейным. В общем случае периодический сигнал содержат не зависящую от времени постоянную составляющую A 0 и бесконечный набор гармонических колебаний называемых гармониками, с частотами кратными основной частоте периодической последовательности.

Постоянную составляющую сигнала определяют как его среднее значение за время, равное периоду Т:

Амплитуды отдельных гармоник определяют по формуле

Зависимость амплитуды А к от частоты представляет собой амплитудно-частотный спектр и графически изображается в виде спектральной диаграммы, приведенной на рис. 1.

Кроме амплитудного спектра теоретически можно определить и фазовый спектр, который представляет собой зависимость начальных фаз от частоты. Начальные фазы отдельных гармоник рассчитываются по формуле

В табл.1 приведены амплитудные спектры некоторых периодических сигналов.

Таблица 1

Исходный сигнал	Амплитудный спектр
Прямоугольный импульсы
Амплитудно-модулированный сигнал
Амплитудно-манипулированный сигнал

Непериодические сигналы в отличие от периодических имеют непрерывный спектр, т.е, в их составе присутствуют все частоты без исключения. Однако амплитуды отдельных спектральных составляющих в таких сигналах бесконечно малы, поэтому их спектральный состав описывают не амплитудами отдельных гармоник, а спектральной плотностью Х() , под которой понимают отношение приращения амплитуды А к приращению частоты на некоторой частоте, т.е.

Теоретически комплексную спектральную плотность непериодического сигнала, x(t) можно определить с помощью интеграла Фурье.

При этом комплексная спектральная плотность (6) несет информацию не только об амплитудах, но и о фазах спектральных составляющих сигнала. Амплитудный спектр сигнала x(t) определяется модулем спектральной плотности (6)

Кроме спектральной плотности амплитуд теоретически можно определить спектральную плотность фаз

Приборы для анализа спектра электрических сигналов, или спектроанализаторы, предназначены для исследования амплитудно-частотного спектра периодических электрических сигналов. По принципу действия эти приборы можно разделить на приборы параллельного, последовательного и последовательно-параллельного анализа.

Структурная схема параллельного спектроанализатора приведена на рис.2. Исследуемый электрический сигнал подводится к ряду параллельно включенных электрических фильтров, каждый из которых выделяет из спектра сигнала только одну гармонику. На выходе фильтров включены индикаторы амплитуды гармоник, на которых можно увидеть значения амплитуд отдельных гармоник.

Точность измерения частот спектральных составляющих определяется полосой пропускания каждого фильтра. Практически полосы пропускания соседних фильтров несколько перекрываются, как показано на рис.3, поэтому при измерении спектра при помощи фильтров можно определять амплитуды сигналов в некоторой полосе частот, совпадающей с полосой пропускания фильтра. Для повышения точности анализа полосу пропускания фильтров делают возможно более узкой, однако при этом резко увеличивается необходимое количество фильтров, что существенно усложняет аппаратуру.

Структурная схема последовательного спектроанализатора приведена на рис.4. Исследуемый электрический сигнал x(t) подводится к смесителю СМ, в котором осуществляется перемножение сигнала x(t) с гармоническим сигналом, поступающим от гетеродина Г. Полосовой фильтр ПФ выделяет из спектра на выходе смесителя сигнал, частота которого равна разности частоты гармоники входного сигнала и частоты гетеродина. Изменяя частоту гетеродина, можно измерить амплитуды всех гармоник сигнала x(t). На выходе полосового фильтра ПФ включен индикатор, в качестве которого наиболее часто используют электроннолучевую трубку (ЭЛТ).

И если исследуемый сигнал x(t) имеет спектральный состав, определяемый выражением

а гармонический сигнал гетеродина равен

то сигнал на выходе смесителя определяется выражением

Составляющая сигнала, для которой выполняется условие

где - частота фильтра, проходит на выход фильтра и индицируется на экране ЭЛТ.

Изменение частоты гетеродина позволяет при постоянной частоте фильтра выделять из спектра сигнала x(t) гармоники с порядковым номером

Для определения частоты каждой составляющей спектра перестройка частоты гетеродина согласована во времени с горизонтальным перемещением луча электронно-лучевой трубки. Для этого используют единый генератор развертки ГР, обеспечивающий перестройку гетеродина синхронно, с перемещением луча по экрану. Структурная схема последовательного спектроанализатора с электроннолучевой трубкой приведена на рис.5.

Таким образом, в последовательном спектроанализаторе последовательно выделяются частотные составляющие спектра исследуемого сигнала при помощи не перестраиваемого полосового фильтра ПФ. Однако при быстром изменении частоты гетеродина напряжение на выходе полосового фильтра не успевает устанавливаться и возникает специфическая погрешность, обусловленная динамическим режимом измерения. Для снижения динамической погрешности перестройка гетеродина проводится очень медленно, что приводит к увеличению времени анализа.

Структурная схема последовательно-параллельного спектроанализатора приведена на рис.6. Исследуемый сигнал x(t) подводится, как и в параллельном спектроанализаторе, к ряду полосовых фильтров. Однако для получения изображения спектра на экране электронно-лучевой трубки (ЭЛТ) выходы фильтров подключаются поочередно при помощи коммутатора К. Таким образом, исключаются нестационарные режимы обусловленные перестройкой гетеродина, и уменьшается время анализа.

Последовательно-параллельный анализатор спектра повышенной точности требует большого количества фильтров, полосы которых не должны практически перекрываться. Ширина полосы пропускания отдельных фильтров определяет погрешность измерения частоты гармонических составляющих.

Основные технические характеристики последовательного спектроанализатора. К основным техническим характеристикам последовательного спектроанализатора относят: диапазон частот F, анализируемого сигнала, полосу обзора F К, полосу пропускания F фильтра, время анализа, погрешности измерения частоты и амплитуды спектральных составляющих.

Диапазон частот P анализируемого сигнала характеризует полосу частот, в которой могут быть определены гармоники. Этот диапазон в приборе разделен на участки F K , которые называют полосами обзора. В пределах полосы обзора F K из спектра исследуемого сигнала выделяют отдельные гармоники с разрешающей способностью, равной полосе пропускания F фильтра.

Для анализа спектра в полосе частот F требуется время

Время анализа в полосе частот F анализируемого сигнала увеличивается соответственно в F/ F раз и равно

В связи с этим последовательный анализ при полосе пропускания практически не используют из-за большого времени анализа. Это обстоятельство ограничивает нижний частотный диапазон последовательных анализаторов значениями 5,....., 10 Гц.

В последовательных анализаторах погрешности измерения частоты и амплитуды спектральных составляющих можно разделить на статические и динамические. Статические погрешности обусловлены неточной установкой частоты гетеродина, неравномерностью амплитудно-частотной характеристики смесителя, погрешностью отсчетных делителей и погрешностью шкалы индикатора.

Динамические погрешности обусловлены перестройкой частоты гетеродина в пределах полосы обзора. При изменении частоты гетеродина изменяется разностная частота на входе полосового фильтра ПФ, и амплитуда напряжения на выходе фильтра не успевает достигнуть установившегося значения. Это приводит к деформации амплитудно-частотной характеристики фильтра, которая характеризуется относительным изменением максимума частотной характеристики фильтра

и относительным смещением частоты максимума

относительно статической характеристики фильтра, где частота динамической характеристики ПФ; - частота статической характеристики ПФ; - значение максимума динамической частотной характеристики ПФ; - значение максимума статической частотной характеристики ПФ.

Полоса пропускания фильтра в динамическом режиме также изменяется, что характеризуется относительным ее расширением

где - полоса пропускания ПФ в динамическом режиме; - полоса пропускания ПФ в статическом режиме.

Анализатор спектра С4-25 предназначен для наблюдения и измерения спектров периодических модулированных и немодулированных сигналов. Основные технические характеристики прибора приведены в табл.2.

Таблица 2

Структурная схема прибора приведена на рис. 7. Исследуемый сигнал x(t) через входной делитель ВД и фильтр нижних частот ФНЧ поступает на смеситель СМ, где преобразуется в частоту 108 МГц. Гетеродин Г1 перестраивается в диапазоне частоты от 108 до 158 МГц. Полоса обзора определяется диапазоном изменения частоты гетеродина и изменяется в пределах от 0 до 50 МГц. Это позволяет просматривать спектр во всем диапазоне частот, при необходимости исследовать его более подробно на любом участке диапазона прибора.

Для снижения помех от преобразователя частоты в приборе использовано двойное преобразование частоты при помощи второго смесителя СМИ и второго гетеродина Г2, работающего на частоте 100 МГц. На выходе второго смесителя образуется сигнал с частотой 8160 кГц, который проходит через полосовой фильтр ПФ с полосой пропускания 300 кГц или кварцевый фильтр КФ с регулируемой полосой пропускания в пределах от 3 до 70 кГц.

После фильтрации сигнал детектируется детектором Д, усиливается усилителем У и поступает на вертикальные отклоняющие пластины электронно-лучевой трубки ЭЛТ. Генератор развертки ГР обеспечивает изменение частоты гетеродина Г1 и синхронную с ним развертку луча ЭЛТ.

Измерение частоты и частотных интервалов проводится с помощью меток, в качестве которых используются спектральные составляющие калибратора К. Фиксированные интервалы между метеками 0,1, I и 10 МГц определяются по шкале с помощью переключателя меток. Основные органы управления анализатора спектра и их назначение приведено в табл.3.

Таблица 3.

Орган управления	Назначение
Центральная частота	Перестройка частоты настройки прибора в пределах от 20 кГц до 50 МГц
	Грубое и плавное изменение полосы обзора в пределах от 0 до 50 МГц
Полоса пропускания	Изменение полосы пропускания: фиксирования полоса 300 кГц или плавно регулируемая полоса - 3-70 кГц
Развертка	Изменение скорости развертки. В положение ВЫКЛ развертка выключается
Верт. Масштаб	Изменение масштаба индикатора по вертикальной оси
детектора	Изменение постоянной времени детектора. При увеличение постоянной времени уменьшается уровень шумов без изменения среднего уровня
Чувствительность	Изменение ослабления входного делителя
Отсчет амплитуд	Относительное изменение уровня составляющий спектр

Для упрощения методов решения задач анализа цепей, сигналы представляют в виде суммы определенных функций.

Этот процесс обосновывается понятием обобщенного ряда Фурье. В математике доказано, что любая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда:

Для определения умножим левую и правую части ряда на и возьмем интеграл от левой и правой части:

для интервала в котором выполняются условия ортогональности.

Видно, что.Получили выражение для обобщенного ряда Фурье:

Выделим конкретный вид функции, для разложения в ряд сигнала. В качестве такой функции выберем ортогональную систему функций:

Для определения ряда вычислим значение:

Таким образом, получим:

Графически данный ряд представляется в виде двух графиков амплитудных гармонических составляющих.

Полученное выражение можно представить в виде:

Получили вторую форму записи тригонометрического ряда Фурье. Графически данный ряд представляется в виде двух графиков - амплитудного и фазового спектров.

Найдем комплексную форму ряда Фурье, для этого воспользуемся формулами Эйлера:

Графически спектр в этой форме представлен на оси частот в диапазоне.

Очевидно, что спектр периодического сигнала, выраженный в комплексной или амплитудной форме - дискретный. Это значит, что в спектре имеются составляющие с частотами

Спектральные характеристики непериодического сигнала

Так как в качестве непериодического сигнала в радиотехнике рассматривают одиночный сигнал, то для нахождения его спектра представим сигнал как периодический с периодом. Воспользуемся преобразование ряда Фурье для данного периода. Получим для:

Анализ полученного выражения показывает, что при амплитуды составляющих становятся бесконечно малыми и на оси частот они расположены непрерывно. Тогда, что б выйти из этого положения воспользуемся понятием спектральной плотности:

Подставим полученное выражение в комплексный ряд Фурье, получим:

Окончательно получим:

Здесь - спектральная плотность, а само выражение - прямое преобразование Фурье. Для определения сигнала по его спектру используют обратное преобразование Фурье:

Свойства преобразования Фурье

Из формул прямого и обратного преобразований Фурье, очевидно, что если изменится сигнал, то изменится и его спектр. Следующие свойства устанавливают зависимость спектра измененного сигнала, от спектра сигнала до изменений.

1) Свойство линейности преобразования Фурье

Получили, что спектр суммы сигналов равен сумме их спектров.

2) Спектр сигнала сдвинутого во времени

Получили, что при сдвиге сигнала амплитудный спектр не изменяется, а изменяется только фазовый спектр на величину

3) Изменение масштаба времени

т.е при расширении(сужении) сигнала в несколько раз спектр этого сигнала сужается(расширяется).

4) Спектр смещения

5) Спектр производной от сигнала

Возьмем производную от левой и правой части обратного преобразования Фурье.

Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала умноженного на, то есть изменяется амплитудный спектр и меняется фазовый на.

6) Спектр интеграла сигнала

Возьмем интеграл от левой и правой части обратного преобразования Фурье.

Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала деленного на,

7) Спектр произведения двух сигналов

Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров умноженной на коэффициент

8) Свойство дуальности

Таким образом, если к какому-то сигналу соответствует спектр, то сигналу по форме совпадающему с вышеуказанным спектром соответствует спектр по форме совпадающий с вышеуказанным сигналом.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

НАПРАВЛЕНИЕ

«ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА»

Методы определения

спектральных характеристик

электрических сигналов

Санкт-Петербург

Введение........................................................................................................................................ 3

Вещественная форма ряда Фурье................................................................................................ 3

Комплексная форма ряда Фурье.................................................................................................. 4

Спектр периодической функции................................................................................................. 5

Преобразование Фурье................................................................................................................. 6

Свойства преобразования Фурье................................................................................................. 7

Спектр дискретного сигнала....................................................................................................... 9

Дискретное преобразование Фурье........................................................................................... 12

Растекание спектра..................................................................................................................... 14

Лабораторная установка и выполнение измерений................................................................ 15

Задания......................................................................................................................................... 17

Приложение 1. Отрезок синусоиды.......................................................................................... 18

Литература................................................................................................................................... 19

Введение

Данная работа является первой в цикле лабораторных работ в учебной лаборатории «Методов обработки и передачи информации» (МОПИ) физического факультета СПбГУ. Лаборатория выполняется на втором курсе и поддерживает курс лекций "Физические основы методов обработки и передачи информации". К этому времени курс уже прослушан студентами, лаборатория предназначена для закрепления и расширения знаний в этой области.

Представление о спектре сигнала необходимо для разработки устройств передачи информации, оно находит применение для косвенного измерения других физических величин, и просто расчёта электрической цепи. Знание спектра сигнала позволяет лучше понять его природу и не случайно цикл лабораторных работ начинается именно с этой работы.

Работа будет иметь и расчетный, и экспериментальный характер. Экспериментальная часть работы содержит важный инновационный элемент – применение цифровой обработки сигнала, оцифрованного с помощью системы сбора данных. Кроме того, вся расчетная часть работы, а также обработка результатов экспериментов выполняется на базе современного математического пакета МАТЛАБ и его дополнительной библиотеки – Signal Processing Toolbox. Используются заложенные в них возможности математического моделирования разнообразных типов сигналов, обработки данных.

Предполагается, что читатель знаком с основными приемами работы в этом пакете. Программы расчетов и различные дополнения будут отнесены в Приложения к работе.

Вещественная форма ряда Фурье

Рассмотрим периодическую функцию с периодом, равным : , где – любое целое число. При выполнении определенных условий эта функция может быть представлена в виде суммы, конечной или бесконечной, гармонических функций вида , период которых совпадает с периодом исходной функции , где https://pandia.ru/text/78/330/images/image007_33.gif" width="19 height=24" height="24"> – константа..gif" width="15" height="17 src=">. Таким образом, мы будем решать задачу о разложении периодической функции в тригонометрический ряд:

(1)

Отдельное слагаемое этой суммы https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23">. Наша задача заключается в том, чтобы подобрать такие коэффициенты и , при которых ряд (1) будет сходиться к заданной функции https://pandia.ru/text/78/330/images/image013_18.gif" width="301 height=53" height="53"> (2)

где новые коэффициенты выражаются как https://pandia.ru/text/78/330/images/image015_16.gif" width="105" height="24 src=">.gif" width="273" height="117"> (3)

Можно доказать, что тригонометрический ряд будет сходиться равномерно к функции https://pandia.ru/text/78/330/images/image019_13.gif" width="48 height=53" height="53">.gif" width="28" height="23 src="> может быть приближена с определённой точностью тригонометрическим полиномом порядка N , то есть конечным числом слагаемых.

Комплексная форма ряда Фурье

Другая, комплексная форма тригонометрического ряда, получается, если записать синусы и косинусы в (2) через комплексные экспоненты:

(4)

Коэффициенты вещественной и комплексной формы связаны между собой соотношениями:

(5)

Используя формулы (5), из (3) получим выражения для коэффициентов комплексной формы тригонометрического ряда. Эти коэффициенты могут быть записаны для любого номера k следующим образом

(6)

Тригонометрический ряд в комплексной форме равномерно сходится к функции , если сходятся ряды и . Это будет выполнено, если исходная функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Спектр периодической функции

Введем понятие спектра периодической функции. Оно основывается на возможности представления сигнала либо в виде вещественного ряда Фурье (1), либо в виде комплексного ряда (4). Это означает, что вещественные коэффициенты и , или комплексные коэффициенты несут полную информацию о периодической с известным периодом https://pandia.ru/text/78/330/images/image012_20.gif" width="21" height="24"> и называется вещественным спектром сигнала..gif" width="69" height="41 src=">). Поэтому набор называется амплитудным спектром..gif" width="20" height="24">. В отличие от вещественного спектра, комплексный спектр определен как для положительных, так и для отрицательных частот. Ниже мы покажем, что модули этих коэффициентов определяют амплитуды гармоник и поэтому могут называться амплитудным спектром, а аргументы (фазовый спектр) определяют начальные фазы гармоник..gif" width="61 height=29" height="29">. Из этого соотношения вытекает свойство четности для амплитудного комплексного спектра и нечетность для фазового.

Посмотрим, как связаны между собой вещественный и комплексный спектры. Запишем ряд (4) в виде

Слагаемые с отрицательными номерами могут быть выражены через слагаемые с положительными номерами, так как и . Тогда останется только сумма с положительными номерами

После суммирования экспонент с одинаковыми номерами https://pandia.ru/text/78/330/images/image035_4.gif" width="237" height="53"> (9)

Сравнивая ряды (1) и (9), получим искомую связь вещественного и комплексного спектров: и .

Так как спектр периодического сигнала состоит из отдельных гармоник, его называют дискретным или линейчатым. Частоты гармоник обратно пропорциональны периоду https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23"> – непрерывно дифференцируемая абсолютно интегрируемая на всей оси функция: . Непериодический сигнал может быть рассмотрен как периодический, но с бесконечно большим периодом. Сделав предельный переход от конечного к бесконечно большому периоду сигнала в формулах (6) и (4), получим формулы для прямого преобразования Фурье:

(10)

и обратного:

(11)

Функцию https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">. Таким образом, спектр непериодического сигнала – сплошной (в отличие от линейчатого спектра периодического сигнала), он определен на всей оси частот.

Свойства преобразования Фурье

Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье.

Линейность . Рассмотрим функции и , имеющие спектры и :

Тогда спектр их линейной комбинации будет:

Задержка во времени ..gif" width="28" height="23 src=">

(14)

Рассчитаем спектр сигнала, сдвинутого во времени: https://pandia.ru/text/78/330/images/image050_1.gif" width="59" height="21">, тогда и

Получили, что задержка сигнала на время https://pandia.ru/text/78/330/images/image055_1.gif" width="41" height="25">.

Изменение масштаба. Считаем, что известен спектр https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">.gif" width="36" height="23">. Вводим новую переменную , делаем замену переменной интегрирования https://pandia.ru/text/78/330/images/image059_1.gif" width="312" height="61"> (16)

Умножение на https://pandia.ru/text/78/330/images/image041_3.gif" width="40 height=23" height="23"> сигнала . Найдем спектр этого сигнала, умноженного на .

Таким образом, умножение сигнала на https://pandia.ru/text/78/330/images/image062_1.gif" width="23" height="24">.

Спектр производной. В данном случае ключевым моментом является абсолютная интегрируемость функции. Из того, что интеграл от модуля функции должен быть ограничен, следует, что на бесконечности функция должна стремиться к нулю. Интеграл от производной функции берётся по частям, получившиеся внеинтегральные слагаемые равны нулю, так как на бесконечности функция стремится к нулю.

(18)

Спектр интеграла. Найдем спектр сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image065_1.gif" width="81" height="57">, то есть у сигнала отсутствует постоянная составляющая. Это требование необходимо, чтобы внеинтегральные слагаемые были равны нулю, когда интеграл берётся по частям.

(19)

Теорема о свёртке. Известно, что https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> спектры функций и https://pandia.ru/text/78/330/images/image069_1.gif" width="153" height="57"> через и . Для этого в интеграле Фурье от свёртки у одной из функций выполним замену переменой , тогда в показателе экспоненты можно сделать замену https://pandia.ru/text/78/330/images/image072_1.gif" width="449" height="181"> (20)

Преобразование Фурье свёртки двух сигналов даёт произведение спектров этих сигналов.

Произведение сигналов. Известно, что https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> – спектры функций и https://pandia.ru/text/78/330/images/image073_1.gif" width="53" height="23"> через спектры и ..gif" width="409" height="123"> (21)

Спектр произведения сигналов есть свёртка спектров этих сигналов.

Спектр дискретного сигнала

Особое внимание стоит уделить дискретным сигналам, так как именно такие сигналы используются в цифровой обработке. Дискретный сигнал в отличие от непрерывного является последовательностью чисел, соответствующих значениям непрерывного сигнала в определённые моменты времени. Условно дискретный сигнал можно рассматривать как непрерывный сигнал, который в определённые моменты времени принимает какие-то значения, а в остальное время равен нулю..gif" width="28" height="23"> на последовательность периодически повторяющихся прямоугольных импульсов – тактирующих импульсов (рис.1).

https://pandia.ru/text/78/330/images/image078_1.gif" width="87" height="24"> (22)

Прямоугольные импульсы имеют длительность https://pandia.ru/text/78/330/images/image079_1.gif" width="19 height=24" height="24">:

(23)

Амплитуда импульса выбрана таким образом, чтобы интеграл импульса по периоду равнялся . При этом тактирующие импульсы безразмерны. Разложим последовательность таких импульсов в тригонометрический ряд:

(24)

Чтобы получить мгновенные отсчёты сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image082_1.gif" width="44" height="19">. Такой тактирующий сигнал назовём идеальным. При этом коэффициенты разложения в ряд Фурье все будут равны 1.

(25)

Точно такой же вид имеет разложение в ряд Фурье функции:

(26)

Коэффициенты разложения в тригонометрический ряд тактирующего сигнала :

(27)

Тогда дискретный сигнал будет иметь вид:

При вычислении преобразования Фурье дискретного сигнала меняем местами операцию суммировании и интегрирования, а потом используем свойство δ -функции:

Спектр дискретного сигнала является периодической функцией. Рассмотрим экспоненту в отельном слагаемом как функцию частоты..gif" width="45" height="19">, и это, соответственно, будет периодом повторения всего спектра. То есть спектр дискретного сигнала имеет период повторения, равный частоте квантования .

Получим ещё одно представление . В силу того, что является произведением функций и , спектр дискретного сигнала вычисляется как свёртка спектров непрерывного сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image094_1.gif" width="37" height="23">.

(30)

Вычислим , используя (25). Так как периодическая функция, её спектр дискретный.

Таким образом, свёртка (30)

https://pandia.ru/text/78/330/images/image099_1.gif" width="39" height="23 src=">.

Сам факт того, что в результате дискретизации в спектре сигнала происходят качественные изменения, говорит о том, что исходный сигнал может быть искажён, так как он полностью определяется своим спектром. Однако с другой стороны периодическое повторение одного и того же спектра само по себе не вносит ничего нового в спектр, поэтому при определённых условиях, зная значения сигнала в отдельные моменты времени, можно найти какое значение этот сигнал принимал в любой другой момент времени, то есть получить исходный непрерывный сигнал. В этом состоит смысл теоремы Котельникова, которая накладывает условие на выбор частоты квантования в соответствии с максимальной частотой в спектре сигнала.

Если это условие нарушено, то после оцифровки сигнала произойдёт наложение периодически повторяющегося спектра (рис. 2). Получившийся в результате наложения спектр будет соответствовать другому сигналу.

Рис. 2. Перекрывание спектров.

Дискретное преобразование Фурье

В предыдущем разделе было сказано, что при выполнении условия теоремы Котельникова отсчёты дискретного сигнала хранят всю информацию об исходном непрерывном сигнале, а значит и о его спектре. Поэтому спектр сигнала может быть найден и по его дискретным отсчётам, что даёт широкие возможности для анализа сигналов в цифровой обработке. Ранее было показано, что спектр периодического сигнала дискретный, то есть сигнал может быть разложен по определённым гармоникам. Дискретный сигнал имеет периодический спектр. Дискретный периодический сигнал будет иметь дискретный периодический спектр . Дискретный сигнал представляется в виде последовательности значений сигнала в фиксированные моменты времени ..gif" width="19" height="19 src=">, то есть для любого выполняется . Обычно дискретное преобразование Фурье сигнала, заданного отсчётами в виде вектора из элементов, вычисляется по формуле:

(33)

Обратное преобразование Фурье по формуле:

(34)

Сравнивая (33) с (4) получаем, что комплексная амплитуда гармоники с номером https://pandia.ru/text/78/330/images/image110_1.gif" width="69" height="43 src="> и соответствует частоте или, что тоже самое , где частота квантования в герцах: https://pandia.ru/text/78/330/images/image114_0.gif" width="53" height="41 src="> – период квантования, период считается равным длительности записанного фрагмента сигнала.

В MATLAB дискретное преобразование Фурье выполняется с помощью команды fft (Fast Fourier Transform), которая производит вычисления по специальному алгоритму быстрого преобразования. Синтаксис команды:

y = fft(x, n, dim)

x – вектор с отсчётами сигнала;

y – вектор с результатом преобразования ;

n – необязательный параметр, определяющий количество отсчётов сигнала, используемое для выполнения преобразования. В этом случае вектор y будет состоять из n элементов;

dim – необязательный параметр, определяющий номер размерности, по которой выполняется преобразование. Используется, когда в переменной x содержится несколько сигналов, каждый в столбце или строке, на что указывает переменная dim.

Аналогичный интерфейс имеет команда, с помощью которой выполняется обратное преобразование:

x = ifft(н, n, dim)

Команда fft возвращает массив, в котором амплитуды гармоник соответствуют частотам гармоник в диапазоне https://pandia.ru/text/78/330/images/image117_0.gif" width="80" height="48 src=">, более привычным для восприятия. Вообще, если все значения вектора x вещественны, что характерно для любой измеряемой физической величины, то, как было показано выше (9), значение имеют только гармоники в диапазоне частот https://pandia.ru/text/78/330/images/image104_1.gif" width="20" height="24 src="> – это ровно один период сигнала. То есть в данном случае зарегистрированный отрезок периодического сигнала должен быть периодически продолжен, при этом периодом повторения должна быть длительность всей записи сигнала. Если длительность записи отлична от периода сигнала, который записывали, то при периодическом повторении записи сигнала произойдёт искажение формы сигнала, соответственно и его спектра.

Например, регистрировался синусоидальный сигнал с периодом , а длительность записи равна , причём , где – целое число. Тогда при периодическом повторении записи сигнала (рис. 3) появятся разрывы первого рода, так как значения сигнала в начале и конце записи разные.

https://pandia.ru/text/78/330/images/image054_1.gif" width="13" height="15">. Отрезок записанного сигнала можно также интерпретировать как исходный сигнал, свёрнутый с прямоугольным импульсом, определяющий отрезок времени, в который была сделана запись. Тогда согласно свойствам преобразования Фурье спектр записанного сигнала будет произведением исходного спектра со спектром прямоугольного импульса (рис. 4).

https://pandia.ru/text/78/330/images/image123.jpg" width="562" height="229 src=">

Рис. 5. Лабораторная установка.

Рассмотри каждый блок этой схемы подробнее.

1. Источником аналоговых модельных сигналов является Генератор модельных сигналов. В качестве него могут использоваться следующие приборы (по выбору преподавателя):

· Стандартный лабораторный генератор сигналов различной формы (синусоидальные и прямоугольные импульсы);

· Цифровой генератор, собранный на цифро-аналоговом преобразователе (ЦАП) устройства L-Card;

· С помощью MATLAB сигналы могут быть воспроизведены на звуковой карте компьютера.

С использованием MATLAB стало возможно воспроизводить сигналы практически любой формы, спектр которых находится в звуковом диапазоне, возможности ограничены лишь характеристиками звуковой карты, а именно частотой квантования, частотной характеристикой и максимально возможным значением напряжения. Звуковые карты, предназначенные в первую очередь для воспроизведения звука, имеют частотную характеристику, позволяющую воспроизводить сигнал в диапазоне частот приблизительно от 100Гц до 20кГц. Эти границы определяются внутренним устройством звуковой карты, обычно, там используются фильтры, ограничивающие спектр сигнала в этом диапазоне. Другая особенность звуковой карты состоит в том, что большинство из них могут работать только с определёнными частотами квантования: 8000Гц, 11025Гц, 22050Гц и 44100Гц. Выходное напряжение для разных звуковых карт может отличаться, но, обычно, максимально возможное значение около 1В. Преимущество звуковой карты:

Они есть практически в любом компьютере;

Поддерживаются многими программами, в том числе MATLAB и Simulink.

Недостатки:

Для разных плат характеристики могут сильно отличаться;

Как измерительный прибор они не имеют класса точности;

Отсутствие внутренних схем защиты (гальванических или оптических развязок), что может привести к выходу из строя.

2. Аналоговые сигналы, снимаемые с выхода какого-нибудь из перечисленных выше генераторов, визуально контролируются на экране электронно-лучевого осциллографа. Такой контроль необходим чтобы пронаблюдать форму генерируемых сигналов и установить их параметры – амплитуду, длительность, период повторения и т. д.

3. Следующим элементом экспериментальной установки является фильтр нижних частот (ФНЧ). Это аналоговое устройство, которое обычно используется в таких схемах. Его назначение – ограничить спектр исследуемых сигналов сверху, чтобы удовлетворить условиям теоремы Котельникова. Максимальная частота квантования L-Card составляет 125 кГц, тогда, из теоремы Котельникова для восстановления сигнала без искажений спектр сигнала не должен превосходить f гр :

По указанию преподавателя, следует спаять простейший фильтр нижних частот. Его схема приведена на рис. 6.

https://pandia.ru/text/78/330/images/image126_0.gif" width="85" height="41"> (36)

4. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) – устройство для превращения аналоговых сигналов в цифровые реализации, доступные обработке на компьютере. В нашей лаборатории используются АЦП фирмы L-Card типа L-761 и L-783, размещенной непосредственно в системном блоке компьютера.

Задания

1. Аналитически рассчитать спектральные функции заданных преподавателем периодических сигналов простой формы (прямоугольный видеоимпульс, треугольный импульс, экспоненциальный импульс и др.). Построить графики амплитудного и фазового спектра этих сигналов.

2. Выполнить Фурье–анализ перечисленных сигналов в MATLAB, используя быстрое преобразование Фурье (FFT). Построить соответствующие графики амплитудных и фазовых спектров в области положительных и отрицательных частот (используя функции fft, fftshift, stem, предварительно посмотрев их в документации). Амплитуды гармоник и их частоты на графиках должны соответствовать их значениям в заданном сигнале. Особое внимание обратить на влияние соотношения длительности импульсов и времени записи сигнала на спектр сигнала, объяснить результат. Для каждого типа сигнала в одних и тех же координатах построить графики амплитудных спектров, найденных аналитически (задание 1) и численно рассчитанных.

3. С помощью команды FFT найти и сравнить спектры отрезков синусоиды, состоящих из целого и не целого числа периодов.

4. Провести спектральный анализ отрезка синусоиды, состоящего из нескольких периодов. Проследить, как меняется спектр в зависимости от числа периодов.

5. С помощью цифрового осциллографа L-Graph пронаблюдать искажение сигнала в результате нарушения теоремы Котельникова. Для этого подключить аналоговый генератор гармонического сигнала к L-Card, задать частоту квантования, например, 20кГц, и, плавно меняя частоту генератора в диапазоне от 1кГц до 20кГц, наблюдать за частотой оцифрованного сигнала, объяснить наблюдаемые эффекты.

6. Установить частоту квантования 100кГц, частоту генератора гармонического сигнала 10кГц, амплитуду 1В. Записать отрезок гармонического сигнала длительностью 0,01с и построить в MATLAB его амплитудный спектр. При этом частоты и амплитуды на графике должны соответствовать тем, которые есть на самом деле.

7. Используя результаты, полученные в первом задании, аппроксимировать прямоугольный импульс конечным числом слагаемых тригонометрического ряда. Сравнить на одном графике исходный импульс и аппроксимированный двумя первыми гармониками, десятью первыми гармониками.

Приложение 1. Отрезок синусоиды

Для выполнения одного из заданий потребуется написать программу для вычисления спектра синусоиды, ниже приведён пример такой программы. В начале программы определяются параметры, задающие длительность сигнала в периодах и количество периодов. Меняя эти параметры можно получить различные варианты отрезка синусоиды.

clear, clc, close all

f0 = 1000; % частота синуса

N1 = 20; % длительность всего трезка в периодах

N2 = 10; % количество отсчётов на период

N3 = 2; % количество периодов

N = N1*N2; % количество отсчётов во всей записи

fs = f0*N2; % частота квантования

% создаём сигнал

t = (0:(N-1))/fs; % время

x(1:N2*N3) = sin(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);

% вычисляем спетр

X = fftshift(abs(fft(x))/N);

f = (ceil(N/2)-N:ceil(N/2)-1)*fs/N;

subplot(2,1,1), plot(t, x,"k"), xlabel("t, с"), ylabel("x(t)")

subplot(2,1,2), stem(f, X,"k."), xlabel("f, Гц"), ylabel("|X|")

Литература

1. Будылин и интегралы Фурье. СПбГУ. 2002.

2. , Ромаданов преобразования в MATLAB. СПб. 2007

3. Смирнов высшей математики (том

Фурье-изображения - комплексные коэффициенты ряда Фурье F (j w k ) периодического сигнала (1) и спектральная плотность F (j w) непериодического сигнала (2) - обладают рядом общих свойств.

1. Линейность . Интегралы (1) и (2) осуществляют линейное преобразование функции f (t ). Поэтому Фурье-изображение линейной комбинации функций равно аналогичной линейной комбинации их изображений. Если f (t ) = a 1 f 1 (t ) + a 2 f 2 (t ), то F (j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), где F 1 (j w) и F 2 (j w) - Фурье-изображения сигналов f 1 (t ) и f 2 (t ), соответственно.

2. Задержка (изменение начала отсчета времени для периодических функций). Рассмотрим сигнал f 2 (t ), задержанный на время t 0 относительно сигнала f 1 (t ), имеющего такую же форму: f 2 (t ) = f 1 (t – t 0). Если сигнал f 1 имеет изображение F 1 (j w), то Фурье-изображение сигнала f 2 равно F 2 (j w) = = . Домножив и разделив на , сгруппируем члены следующим образом:

Поскольку последний интеграл равен F 1 (j w), то F 2 (j w) = e -j wt 0 F 1 (j w). Таким образом, при задержке сигнала на время t 0 (изменении начала отсчета времени) модуль его спектральной плотности не изменяется, а аргумент уменьшается на величину wt 0 , пропорциональную времени задержки. Поэтому амплитуды спектра сигнала не зависят от начала отсчета, а начальные фазы при задержке на t 0 уменьшаются на wt 0 .

3. Симметрия . Для действительного f (t ) изображение F (j w) обладает сопряженной симметрией: F (– j w) = . Если f (t ) - четная функция, то Im F (j w) = 0; для нечетной функции Re F (j w) = 0. Модуль |F (j w)| и вещественная часть Re F (j w) - четные функции частоты, аргумент arg F (j w) и Im F (j w) - нечетные.

4. Дифференцирование . Из формулы прямого преобразования, интегрируя по частям, получим связь изображения производной сигнала f (t ) с изображением самого сигнала

Для абсолютно интегрируемой функции f (t ) внеинтегральный член равен нулю, и, следовательно, при , а последний интеграл представляет Фурье-изображение исходного сигнала F (j w). Поэтому Фурье-изображение производной df /dt связано с изображением самого сигнала соотношением j wF (j w) - при дифференцировании сигнала его Фурье-изображение умножается на j w. Это же соотношение справедливо и для коэффициентов F (j w k ), которые определяются интегрированием в конечных пределах от – T /2 до + T /2. Действительно, произведение в соответствующих пределах

Поскольку вследствие периодичности функции f (T /2) = f (– T /2), а = = = (– 1) k , то и в этом случае внеинтегральный член пропадает, и справедлива формула

где стрелкой символически обозначена операция прямого преобразования Фурье. Это соотношение обобщается и на многократное дифференцирование: для n -й производной имеем: d n f /dt n (j w) n F (j w).

Полученные формулы позволяют найти Фурье-изображение производных функции по ее известному спектру. Эти формулы удобно также применять в случаях, когда в результате дифференцирования приходим к функции, Фурье-изображение которой вычисляется более просто. Так, если f (t ) - кусочно-линейная функция, то ее производная df /dt - кусочно-постоянная, и для нее интеграл прямого преобразования находится элементарно. Для получения спектральных характеристик интеграла функции f (t ) ее изображение следует разделить на j w.

5. Дуальность времени и частоты . Сопоставление интегралов прямого и обратного преобразований Фурье приводит к выводу о их своеобразной симметрии, которая становится более очевидной, если формулу обратного преобразования переписать, перенося множитель 2p в левую часть равенства:

Для сигнала f (t ), являющегося четной функцией времени f (– t ) = f (t ), когда спектральная плотность F (j w) - вещественная величина F (j w) = F (w), оба интеграла можно переписать в тригонометрической форме косинус-преобразования Фурье:

При взаимной замене t и w интегралы прямого и обратного преобразований переходят друг в друга. Отсюда следует, что если F (w) представляет спектральную плотность четной функции времени f (t ), то функция 2pf (w) является спектральной плотностью сигнала F (t ). Для нечетных функций f (t ) [f (t ) = – f (t )] спектральная плотность F (j w) чисто мнимая [F (j w) = jF (w)]. Интегралы Фурье в этом случае приводятся к виду синус-преобразований, из которых следует, что если спектральная плотность jF (w) соответствует нечетной функции f (t ), то величина j 2pf (w) представляет спектральную плотность сигнала F (t ). Таким образом, графики временной зависимости сигналов указанных классов и его спектральной плотности дуальны друг другу.

Интеграл (1)

Интеграл (2)

В радиотехнике широко используется спектральное и временное представление сигналов. Хотя сигналы по своей природе являются случайными процессами, однако, отдельные реализации случайного процесса и некоторые специальные (например, измерительные) сигналы можно считать детерминированными (то есть известными) функциями. Последние принято делить на периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов не существует. Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию

на интервале времени ,где Т - постоянная величина, называемая периодом, а k-любое целое число.

Простейшим примером периодического сигнала является гармоническое колебание (или коротко гармоника).

где - амплитуда, = - частота, - круговая частота, - начальная фаза гармоники.

Важное значение понятия гармоники для теории и практики радиотехники объясняется рядом причин:

1. гармонические сигналы сохраняют свою форму и частоту при прохождении через стационарные линейные электрические цепи (например, фильтры), меняя лишь амплитуду и фазу;
2. гармонические сигналы достаточно просто вырабатываются (например, при помощи автогенераторов LC).

Непериодическим сигналом называется сигнал, который отличен от нуля на конечном интервале времени. Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, но с бесконечно большим периодом. Одной из основных характеристик непериодического сигнала является его спектр. Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала, от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала - это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частоты гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют. Для непериодического сигнала спектр - это прямое преобразование Фурье сигнала. Итак, спектр периодического сигнала - это дискретный спектр (дискретная функция частоты), в то время как для непериодического сигнала характерен сплошной спектр (непрерывный) спектр.

Обратим внимание на то, что дискретный и непрерывный спектры имеют разные размерности. Дискретный спектр имеет ту же размерность, что и сигнал, в то время как размерность непрерывного спектра равна отношению размерности сигнала к размерности частоты. Если, например, сигнал представлен электрическим напряжением, то дискретный спектр будет измеряться в вольтах [B], а непрерывный - в вольт на герц [ B/Гц]. Поэтому для непрерывного спектра употребляют также термин "спектральная плотность".

Рассмотрим сначала спектральное представление периодических сигналов. Из курса математики известно, что любую периодическую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле (одним из необходимых является условие, чтобы энергия была конечной), можно представить рядом Фурье в тригонометрической форме:

где определяет среднее значение сигнала за период и называется постоянной составляющей. Частота называется основной частотой сигнала (частота первой гармоники), а кратные ей частоты - высшими гармониками. Выражение (3) можно представить в виде:

Обратные зависимости для коэффициентов а и b имеют вид

На рисунке 1 приведен типичный вид графика спектра амплитуд периодического сигнала для тригонометрической формы ряда (6):

С использованием выражения (формула Эйлера).

вместо (6) можно записать комплексную форму ряда Фурье:

где коэффициент называются комплексными амплитудами гармоник, значения которых, как следует из (4) и формулы Эйлера, определяется выражением:

Сравнивая (6) и (9), замечаем, что при использовании комплексной формы записи ряда Фурье отрицательные значения k позволяют говорить о составляющих с "отрицательными частотами". Однако, появление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала.

Тогда вместо (9) получим:

имеет размерность [амплитуда/герц] и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на полосу в 1 Герц. Поэтому эта непрерывная функция частоты S(jw) называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью. Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выражения (10) и (11) замечаем, что при w=kwo они отличаются лишь постоянным множителем, а

т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т можно определить по спектральной характеристике непериодической функции такой же формы, заданной в интервале . Сказанное справедливо и по отношению к модулю спектральной плотности:

Из этого соотношения следует, что огибающая сплошного амплитудного спектра непериодического сигнала и огибающая амплитуд линейчатого спектра периодического сигнала совпадают по форме и отличаются лишь масштабом. Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Умножая обе части неравенства (14) на s(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим:

где S(jw) и S(-jw) - комплексно-сопряженные величины. Так как

Это выражение называется равенством Парсеваля для непериодического сигнала. Оно определяет полную энергию сигнала. Отсюда следует, что есть не что иное, как энергия сигнала, приходящаяся на 1 Гц полосы частот около частоты w. Поэтому функцию иногда называют спектральной плотностью энергии сигнала s(t). Приведем теперь без доказательства несколько теорем о спектрах, выражающих основные свойства преобразования Фурье.