Meтод ЛЧХ является одним из наиболее распространенных методов синтеза автоматического управления, так как построение ЛЧХ, как правило, может выполняться практически без вычислительной работы. Особенно удобно использовать асимптотические «идеальные» ЛАЧХ.
Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции;
1. Построение ЛАЧХ неизменяемой части системы.
Неизменяемая часть системы регулирования содержит объект регулирования и исполнительный элемент, а также основной элемент обратной связи и элемент сравнения ЛАЧХ неизменяемой части строят по передаточной функции разомкнутой неизменяемой части системы.
2. Построение желаемой части ЛАЧХ.
График желаемой ЛАЧХ делается на основе тех требований, которые предъявляются к проектируемой системе управления. Желаемую ЛАЧХ Lж условно можно разделить на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.
2.1 Низкочастотную часть определяет статическую точность системы, точность в установившихся режимах. В статической системе низкочастотная асимптота параллельна оси абсцисс. В астатической системе наклон этой асимптоты составляет –20мдБ/дек, где - порядок астатизма ( =1,2). Ордината низкочастотной части Lж определяется значением передаточного коэффициента К разомкнутой системы. Чем шире низкочастотная часть Lж, тем больше высоких частот воспроизводится системой без замкнутого ослабления.
2.2 Среднечастотная часть является наиболее важной, так как она определяет устойчивость, запас устойчивости и, следовательно, качество переходных процессов, оцениваемое обычно показателями качества переходной характеристики. Основные параметры среднечастотной асимптоты -это её наклон и частота среза ср (частота при которой Lж пересекает ось абсцисс). Чем больше наклон среднечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы. Поэтому наиболее целесообразен наклон -20дБ/ дек и крайне редко он превышает -40дБ /дек Частота среза ср определяет быстродействие системы, и значение величины перерегулирования. Чем больше ср, тем выше быстродействие, тем меньше время регулирования Тпп переходной характеристики, тем больше перерегулирование .
2.3 Высокочастотная часть ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Лучше иметь возможно больше наклон ее асимптоты, что уменьшает требуемую мощность исполнительного opгана и влияние высокочастотных помех. Иногда при расчете высокочастотную ЛАЧХ не принимают во внимание.
где - коэффициент, зависящий от величины перерегулирования ,
Должен быть выбран по графику приведенном на рисунке 1.
Рисунок 18- График для определения по допустимому перерегулированию коэффициента .
Ордината низкочастотной асимптоты определяется соответственно коэффици
ентом усиления и наклоном высокочастотной асимптоты переходной, разомкнутой CAP.
3. Определение параметров корректирующего устройства.
3.1 График ЛАЧХ корректирующего устройства получается вычитанием из значения графика желаемой ЛАЧХ значений графика неизменяемой, после чего по ЛАЧХ корректирующего устройства определяется его передаточная функция .
3.2 По передаточной функции регулятора подбирается электрическая схема для реализации корректирующего устройства и рассчитываются значения её параметров. Схема регулятора может быть на пассивных или на активных элементах.
3.3 Передаточная функция корректирующего устройства, полученная в пункте 3.1,включается в обобщенную структурную схему САУ Используя обобщенную структурную схему скорректированной САУ, с помощью ЭВМ, строятся графики переходных процессов, которые должны быть не хуже заданных.
Пример:
6.Синтез системы автоматического управления методом логарифмических частотных характеристик.
Задачи синтеза. Задачи синтеза САУ заключаются в определении управляющего устройства в виде его математического описания. При этом считается, что задан объект управления, известны требования к точности и качество управления, известны условия работы, включая характеристики внешних воздействий, известны требования к надёжности, весу, габаритам и т.д. Синтез- создание управляющего устройства при известном условии. Задача синтеза - задача на оптимум. Большое число требований и их разнообразие даёт возможность сформировать единый критерий оптимальности и решения задачи синтеза, как задачу надёжности этого экстремума. Поэтому синтез разделяется на ряд этапов и на каждом этапе решается какая то часть задач синтеза(один отдельный аспект).
Частотный метод синтеза корректирующих устройств. Наиболее распространённым является частотный метод синтеза корректирующих устройств с помощью ЛЧХ. Он проводится следующим образом: Строится желаемая ЛАЧХ исходя из требованиям по точности и качества переходного процесса. Эта желаемая характеристика сравнивается с той, которую имеет система без коррекции. В результате сравнения определяется передаточная функция корректирующего устройства. Затем строится ФЧХ и с помощью её определяется полученные запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
Формирование НЧ желаемой ЛАЧХ. Требования по точности могут формироваться по разному.
1.Пусть даны рабочая частота и амплитуда ( р и а р)и задана допустимая ошибка А = доп.
Для области низких частот, гдеW(j) >1
можно записать: Ф (j p)=1/1+W(j p)1/W(j p)
А =aW(j)= a/1+W(j p)a/W(j p)
W(j p)а р / доп
3. Для астатических систем задается скорость изменения вх сигнала
Если воздействие задано, как изменение с постоянной скоростью, то пользуются коэффициентами:
к - коэффициент передачи на рабочей частоте
В это случае АЧХ должна проходить выше точки 20lgk
Формирование СЧ желаемой ЛАЧХ.
СЧ – часть формируется исходя из требований к качеству перех проц-ов.
Пусть заданно допустимость перерегулирования и время процесса tп. Чтобы по этим данным определить частоту среза, используем график:
П
ри=20%
после этого их сопрягают.
Высокочастотная часть ЛАЧХ заметной роли на качество не играет, поэтому
мы берём её такой же как у неизменяемой части.
Сущ-ет синтез последовательного и параллельного корректирующих устройств
Они взаимозаменяемы, поэтому рассмотрим только последовательные.
Считаем, что заданная ЧХ отличается от желаемой надо пред-ть коэф-т передачи и перед ф-ию КУ, к-ые обеспечили бы желаемые св-ва сис-мы.
Пусть к ж >к 0
Расстояние между W / o и W o – 20 lgk k – коэф-т усиления КУ
чтобы найти W k совмещают на одном графике ЧХ для W ж и для W / o
Общий порядок поэтапного синтеза линейной САУ.
1 этап. Определение порядка астатизма и коэффициента передачи системы, Эти параметры находятся исходя из требований к точности в установленном режиме при детерминированном воздействии. Если коэффициент передачи системы, который определяется по величине астатизма оказывается очень большим, что затрудняет стабилизацию системы, целесообразно повысить порядок астатизма и тем самым свести статическую ошибку к нулю, в независимости от коэффициента передачи системы. Если ввели астатизм, то в этом случае коэффициент передачи системы выбирается исходя только из соображений детальности и качества переходных процессов. На этом же этапе решается вопрос о применении воздействий по основному возмущению. Введение коррекции по возмущению целесообразно, если имеется возможность изменения этого возмущения, и введение коррекции по возмущению позволяющее упростить структуру замкнутого контура.
2 этап. Определение основного, т.е. не варьируемой части системы. При проектировании системы обычно часть звеньев системы оговаривают или определяют. Сюда относится объект управления и слежения с объектом устройства (исполнительный механизм, чувствительный элемент и т.д.).
Тем не менее эти звенья должны удовлетворять требованиям по точности и быстродействию. Часто при проектировании задаются другие звенья: преобразователи, усилители, вычислительные устройства. Набор известных элементов составляет костяк структурной схемы системы (иначе это называют основной или не варьируемой частью системы)
3 этап. Выбор коррекции и составление структурной части схемы САУ. Если требования к качеству переходных процессов и точности невысокие, то выбор корректирующих звеньев и варьируемых параметров осуществляется по условию обеспечения устойчивости системы и при этом стремятся к получению как можно больших запасов устойчивости. После выбора корректирующего устройства осуществляется выбор значения варьируемых параметров исходя из требований по точности и качества переходных процессов. Если же требования к качеству переходных процессов и точности достаточно высокие, то корректирующие устройства выбираются исходя из требований по качеству переходных процессов и точности. Корректирующие устройства выбираются таким образом, чтобы в первую очередь обеспечить те требования к качеству управления, которые наиболее жёсткие.
После того как выбрана коррекция предъявляется выполнение других требований к системе и при этом уточняется коррекция. Если мы применяем последовательную коррекцию, то найденная частотная характеристика и будет являться частотной характеристикой корректирующего устройства. По ней определяют передаточную функцию корректирующего устройства. Если предполагается применить корректирующую обратную связь, то её передаточную функцию находят по передаточной функции последовательного корректирующего устройства. Если одновременно используется последовательная и параллельная коррекция, то из передаточной функции варьируемой части сначала выделяется передаточная функция последовательного корректирующего устройства, а за тем оставшаяся часть корректируется как параллельное корректирующее устройство.
4 этап. Построение переходного процесса. Стремятся учесть все те упрощения, которые были сделаны на предыдущих этапах.
Приведем лишь некоторые результаты решения задачи синтеза САУ и назовем их авторов.
К первым результатам решения задачи синтеза САУ следует отнести гиперболу И.А. Вышнеградского (1832-1895), с помощью которой определяется область устойчивости и область неустойчивости САУ, поведение которой описывается ДУ третьего порядка. Гипербола И.А. Вышнеградского направлена на решение задачи стабилизации САУ в форме «вход-выход»; она позволяет выделить области апериодических и колебательных переходных процессов. С результатом И.А. Вышнеградского тесно связана задача модального управления, формализованная Н.Н. Розенброком, и аналитическое решение этой задачи для скалярного случая, предложенное Ю. Аккерманом.
В 1940 году В.С. Кулебакиным сформулирован подход, который можно назвать принципом двухэтапного синтеза регуляторов (принцип двухэтапной коррекции). Содержание его заключается в том, что на первом этапе выбирается эталонный оператор замкнутой системы (для стационарных систем - эталонная передаточная функция (ПФ) Wэ(s)), а на втором - структурная схема и параметры регулятора, а также исполнительный элемент, имеющий мощность, обеспечивающую необходимое быстродействие.
Что касается класса стационарных линейных САУ, то существенные результаты по выбору эталонных передаточных функций систем, удовлетворяющих техническим требованиям при некоторых типовых полезных сигналах, были получены в работах В.А. Боднера, Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Г.С. Поспелова, Т.Н. Соколова, С.П. Стрелкова, А.А. Фельдбаума.
При решении задач синтеза САУ, подверженных воздействию случайных процессов, важную роль играет нахождение динамических характеристик оптимальной (эталонной) системы. Большое значение в решении этой проблемы имеют работы Н. Винера, Л. Заде и Дж. Рагаццини, В.В. Солодовникова, В.С. Пугачева, П.С. Матвеева, К.А. Пупкова, В.И. Кухтенко.
В частотном методе, разработанном В.В. Солодовниковым и получившим широкое распространение в инженерной практике, расчет производится с использованием типовых логарифмических амплитудных частотных характеристик, для которых построены подробные номограммы показателей качества процессов управления. С помощью этих номограмм можно построить эталонную амплитудную частотную характеристику (реализация 1-го этапа) синтезируемой системы, определить ее передаточную функцию, найти частотные характеристики и передаточную функцию корректирующего устройства.
Я.З. Цыпкиным рассмотрена задача определения эталонной характеристики замкнутой САУ для случаев, когда показателями качества выбраны интегральное квадратическое отклонение и энергия управления.
Теоретические положения, являющиеся основой решения задачи синтеза, нашли отражение в работах Е.П. Попова и В.А. Бессекерского.
Широкий спектр подходов к решению задачи построения ММ эталонной системы, например с использованием фильтров Баттерворса, рассмотрен А.А. Первозванским.
В.С. Кулебакиным был предложен метод синтеза систем автоматического управления, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго и третьего порядков, удовлетворяющих некоторым техническим требованиям. Для таких систем эталонная передаточная функция выбирается из условия реализации заданной формы переходного процесса. На основе выбранной эталонной передаточной функции можно найти параметры реальной системы. Такой метод синтеза носит название метода стандартных коэффициентов. Характерная особенность этого метода заключается в том, что искомые параметры определяются при решении системы уравнений, полученных путем приравнивания коэффициентов при соответствующих операторах эталонной и реальной передаточных функций системы управления.
Основными недостатками метода стандартных коэффициентов при решении задачи синтеза является во многих случаях неразрешимость системы уравнений, служащей для определения параметров этой системы.
В.А. Боднером показано, что при включении определенным образом обратных параллельных корректирующих устройств система становится разрешимой.
Существенные результаты, направленные на решение задачи определения параметров элементов, входящих в систему управления и обеспечивающих равенство эталонной ММ и ММ проектируемой системы, получены В.В. Солодовниковым, В.Г. Сегалиным, Гуллемином, Т.Н. Соколовым, В.Р. Эвансом, В.А. Боднером, В.С. Кулебакиным, Э.Г. Удерманом и др.
Для решения инженерных задач разрабатывались методы синтеза САУ в следующих постановках:
- 1. Синтез по заданному расположению полюсов изображений процессов (передаточной функции), а также с использованием D-разбиения плоскости коэффициентов знаменателя изображения (или плоскости параметров системы).
- 2. Синтез по заданному расположению полюсов и нулей передаточной функции, в том числе метод корневых годографов.
- 3. Синтез по интегральным оценкам.
- 4. Синтез методом подобия амплитудно-фазовых и вещественных частотных характеристик.
Методы синтеза по расположению полюсов передаточной функции рассмотрены в работах Г.Н. Никольского, В.К. Попова, Т.Н. Соколова, З.Ш. Блоха, Ю.И. Неймарка и др.
Метод синтеза по заданному (взаимному) расположению полюсов и нулей передаточной функции может обеспечить все показатели качества переходного процесса. Он рассматривается в работах С.П. Стрелкова, Е.П. Попова, Траксела и др.
Кроме того, корневые методы предложены К.Ф. Теодорчиком, Г.А. Бендриковым, Г.В. Римским, Гуллемином.
Метод, разработанный Н.Т. Кузовковым, позволяет использовать связь основных показателей качества процесса управления с величинами доминирующих полюсов и нулей синтезируемой системы, а также установить связь этих полюсов и нулей с варьируемым параметром.
Для определения части параметров используются также интегральные оценки качества переходного процесса, развиваемые в работах Л.И. Мандельштама, Б.В. Булгакова, В.С. Кулебакина, А.А. Фельдбаума, А.А. Красовского и др.
Параметры системы определяются в результате минимизации функционала
где V - в общем случае квадратичная форма.
Интеграл I находится без интегрирования дифференциальных уравнений системы.
Синтез звеньев по амплитудно-фазовым характеристикам скорректированной и нескорректированной систем предложен в работе А.В. Фатеева.
А.В. Башариным разработан графический метод синтеза нелинейных систем управления, который может применяться также к системам с переменными параметрами.
Н.Н. Соколовым изучен широкий спектр задач синтеза линеаризованных систем автоматического управления, при этом основное внимание уделено методам определения эталонных передаточных функций. Подходы к решению задачи синтеза регуляторов, доведение ее до алгоритма вычисления параметров корректирующих цепей с использованием линейных дифференциальных операторов в классе систем с переменными параметрами изучены А.В. Солодовым.
Обратные задачи динамики систем составляют один из ведущих разделов аналитической механики, суть которых состоит в том, что по заданному описанию модели динамической системы необходимо найти систему сил, действие которых порождает ее движение с заданными свойствами. Взаимосвязь задачи формирования заданных движений на выходе управляемой динамической системы с обратными задачами динамики рассматривали Л.М. Бойчук, А.А. Жевнин, К.С. Колесников, А.П. Крищенко, В.И. Толокнов, Б.Н. Петров, П.Д. Крутько, Е.П. Попов, Г.Е. Пухов, К.Д. Жук, А.В. Тимофеев и др.
В результате исследования условий подавления (парирования) влияния возмущений на поведение объекта управления А.С. Востриковым был сформулирован принцип локализации как структурное требование к построению алгоритмов управления динамическими объектами, суть которого состоит в организации в системе управления специальной быстрой подсистемы, где локализуются возмущения, влияние которых на поведение объекта нужно парировать. Метод синтеза САУ, обеспечивающих формирование заданных показателей качества переходных процессов в условиях действия неконтролируемых возмущений на основе использования старшей производной совместно с большим коэффициентом усиления в законе обратной связи, был предложен в работах А.С. Вострикова и получил дальнейшее развитие в методе локализации. Кроме того, в качестве общей методической основы для синтеза нелинейных систем управления был предложен принцип локализации как структурное требование к проектируемой системе управления, состоящее в формировании специальной быстрой подсистемы для подавления влияния сигнальных и параметрических возмущений. Структурное представление систем, удовлетворяющих данному принципу, позволяет выделить контур - «контур локализации», при этом расчет системы управления сводится главным образом к решению двух задач: проектированию эталонного уравнения и стабилизации быстрых процессов в контуре локализации. Принципу локализации удовлетворяют различные типы систем, в частности, системы со скользящими режимами, системы с большими коэффициентами в законе обратной связи, а также ряд адаптивных систем и систем, близких по свойствам к адаптивным.
В настоящее время можно выделить несколько наиболее развитых направлений в теории синтеза систем управления, позволяющих обеспечить формирование требуемых показателей качества переходных процессов по выходным переменным, а также их инвариантность по отношению к переменным характеристикам объекта и неконтролируемым возмущениям.
Важное направление - это теория синтеза систем с переменной структурой и, в частности, систем управления с организацией скользящих режимов движения вдоль многообразия, заданного в пространстве состояний объекта. Основы этого направления рассматривались в работах Е.А. Барбашина, Е.И Геращенко, С.М. Геращенко, С.В. Емельянова, Б.Н. Петрова, В.И. Уткина и получили дальнейшее развитие в работах многих исследователей. Данное направление интенсивно развивается и в настоящее время.
Системы с переменной структурой (СПС), введенные в теорию и практику автоматического управления С.В. Емельяновым, находят большое теоретическое развитие и практическое применение. Основная идея построения СПС заключается в организации нескольких структур регулятора и смене их в процессе управления объектом таким образом, чтобы в наибольшей степени использовать положительные свойства каждой из структур и получить новые движения системы, возможно несвойственные ни одной из отдельно взятых структур регулятора. При этом вся система в целом может получить качественно новые свойства.
Решение задачи компенсации в виде функциональных степенных рядов расмотрено Г. Ван-Трисом. Им же построены алгоритмы определения компенсирующих ядер в прямой цепи и цепи обратной связи.
К.А. Пупковым, А.С. Ющенко и В.И. Капалиным систематически и с единых методологических позиций изложена теория нелинейных систем; разработаны методы синтеза регуляторов в классе нелинейных систем, поведение которых описывается функциональными рядами Вольтерра. Класс систем со случайными параметрами исследован в работах Е.А. Федосова и Г.Г. Себрякова, а применение теории чувствительности - в работах Р.М. Юсупова.
Аппарат многомерных импульсных переходных функций (ИПФ), ПФ, частотных характеристик, а также многомерных интегральных преобразований Лапласа и Фурье позволил О.Н. Киселеву, Б.Л. Шмульяну, Ю.С. Попкову и Н.П. Петрову разработать конструктивные алгоритмы идентификации и оптимизации нелинейных стохастических систем, включая синтез регуляторов. Я.З. Цыпкиным и Ю.С. Попковым рассмотрены методы синтеза регуляторов в классе дискретных систем.
А.С. Шаталовым, В.В. Барковским, В.Н. Захаровым рассмотрен широкий спектр вопросов по проблеме синтеза систем автоматического управления, результаты отражены в их работах. Аппарат обратных задач динамики управляемых систем использован П.Д. Крутько для синтеза оператора обратной связи, а также для решения ряда других задач.
И.А. Орурком рассмотрена задача синтеза в следующей постановке: параметры регулятора определяются таким образом, чтобы:
- 1) воспроизводился переходной процесс hэ(t) относящийся к координате x(t), при возмущениях определенного вида; при этом с допустимой погрешностью должна воспроизводиться кривая hэ(t) ее экстремальные значения, скорость и время протекания переходного процесса;
- 2) обеспечивалась заданная степень устойчивости и колебательность системы. Конструктивные алгоритмы синтеза регуляторов для широкого класса систем с использованием аппарата математического программирования предложены И.А. Дидуком, А.С. Орурком, А.С. Коноваловым, Л.А. Осиповым.
В.В. Солодовниковым, В.В. Семеновым и А.Н. Дмитриевым разработаны спектральные методы расчета и проектирования САУ, позволяющие построить конструктивные алгоритмы синтеза регуляторов, В.С. Медведевым и Ю.М. Астаповым рассмотрены алгоритмы нахождения эталонных ПФ при случайных воздействиях, а также методы синтеза корректирующих устройств с использованием логарифмических частотных характеристик, по заданным собственным значениям матрицы системы управления линейными объектами по квадратичному критерию качества.
В.И. Сивцовым и Н.А. Чулиным получены результаты, позволяющие решать задачи автоматизированного синтеза систем управления на основе частотного метода; В.А. Карабановым, Ю.И. Бородиным и А.Б. Ионнисианом рассмотрены некоторые задачи обобщения частотного метода на класс нестационарных систем. В работах Е.Д. Теряева, Ф.А. Михайлова, В.П. Булекова и др. рассмотрены задачи синтеза нестационарных систем.
Чрезвычайно трудной является проблема синтеза регуляторов в многомерных системах. В работах, рассматривающих вопрос о разрешимости задачи синтеза регуляторов при выполнении известных требований, получены соответствующие условия разрешимости (Р. Брокетт, М. Месарович). В.В. Солодовниковым, В.Ф. Бирюковым, Н.Б. Филимоновым получены результаты, направленные на решение задач синтеза регуляторов в классе многомерных систем; ими предложен критерий качества, который адекватно отражает динамическое поведение многомерных систем; сформулированы условия, при которых задача синтеза разрешима. Ценные результаты получены А.Г. Александровым. Многими авторами (Б. Андерсон, Р. Скотт и др.) рассмотрен подход, в основу которого положено «модельное соответствие» синтезируемой системы и желаемой модели. В этом же русле с использованием метода пространства состояний находятся работы Б. Мура, Л. Силвермана, В. Уонема, А. Морзе и др. Используется «геометрический подход», рассмотренный В. Уонемом и Д. Персоном.
Одной из проблем, связанной с синтезом регуляторов в классе многомерных систем, является проблема «развязки» каналов. В русле решения этой проблемы находятся работы Е. Джильберта, С. Уанга, Е. Девисона, В. Воловича, Г. Бенгстона и др.
Вопросы синтеза регуляторов в многомерных системах с использованием разных подходов изложены в работах Е.М. Смагина, X. Розенброка, М. Явдана, А.Г. Александрова, Р.И. Ивановского, А.Г. Таранова.
С. Кант и Т. Калат изучили «проблему минимального проектирования». Вопросы, связанные с диагональной доминантностью, изучались О.С. Соболевым, X. Розенброком, Д. Хаукинсом.
Отдельным вопросам проблемы синтеза многомерных систем посвящены работы М.В. Меерова, Б.Г. Ильясова. В работе Е.А. Федосова рассмотрены перспективные методы проектирования многомерных динамических систем.
Современный период развития теории управления характеризуется постановкой и решением задач, учитывающих неточность наших знаний об объектах управления и действующих на них внешних возмущений. Задачи синтеза регулятора и оценивания состояния с учетом неопределенности в модели объекта и характеристиках входных воздействий являются одними из центральных в современной теории управления. Их важность обусловлена прежде всего тем, что практически в любой инженерной задаче конструирования САУ присутствует неопределенность в модели объекта и в знании класса входных возмущений.
Решению проблем теории автоматического управления, определяющих прогресс науки об управлении в последние десятилетия, посвящены книги И.В. Мирошника, В.О. Никифорова и А.Л. Фрадкова, Б.Р. Андриевского и А.Л. Фрадкова, С.В. Емельянова и С.К. Коровина , В.Н. Афанасьева, В.Б. Колмановского и В.Р. Носова.
Монография В. Д. Юркевича посвящена проблемам синтеза непрерывных и дискретных САУ в условиях неполной информации о внешних неконтролируемых возмущениях при переменных параметрах объекта управления.
Новые подходы отражены в монографии В.А. Подчукаевым, где получено решение задач синтеза в явном виде (в аналитической форме) без использования каких-либо итерационных или поисковых процедур.
Результаты, характеризующие современный этап развития важных направлений теории автоматического управления, получены Е.А. Федосовым, Г.Г. Себряковым, С.В. Емельяновым, С.К. Коровиным, А.Г. Бутковским, С.Д. Земляковым, И.Е. Казаковым, П.Д. Крутько, В.Ю. Бутковским, А.С. Ющенко, И.Б. Ядыкиным и другими.
Необходимо отметить, что вышедшие за последние годы учебники затрагивают, как правило, лишь отдельные стороны современной теории. Некоторую информацию можно извлечь из статей и обзоров на русском языке, однако все это дает лишь мозаичную картину предмета. В книге Б.Т. Поляка и П.С. Щербакова «Робастная устойчивость и управление» дано систематическое изложение современной теории управления.
В последние десятилетия опубликовано ряд монографий и статей, связанных с рассмотрением таких проблем, как применение в теории систем геометрических методов, теории катастроф и теории хаоса, адаптивного и робастного управления, класса интеллектуальных систем и нейрокомпьютеров и др.
Введено понятие бифуркаций, рассматриваются соответствующие определения, для класса операторов определены точки бифуркации, т.е. точки, в которых в уравнении с соответствующим оператором происходит рождение нового, нетривиального решения этого уравнения. Показано также, что хаотическое поведение динамических систем определяется высокой чувствительностью к начальным условиям и невозможностью предсказания поведения на большом интервале времени.
Рассмотрены некоторые положения робастного управления. Проектировщик часто не располагает полной информацией о моделях объектов, т.е. последние содержат неопределенности и, таким образом, имеют место информационные ограничения, например, при проектировании новых технологических процессов, объектов новой техники и др. Явление неопределенности может порождаться неизвестными параметрами объекта, неточно известными нелинейными характеристиками математической модели, неизмеряемыми внешними возмущениями и др. Если методы классической теории управления основаны на предположении, что все характеристики управляемого процесса известны заранее и поэтому возможно использование закона управления, заданного в явной форме, то в условиях неопределенности задача обеспечения требуемого качества управления обеспечивается применением методов робастного управления.
При проектировании систем автоматического управления часто используют свойство адаптации, когда недостаточная степень априорной информации восполняется обработкой по соответствующим алгоритмам текущей информации. Системы, обладающие свойством адаптации (что позволяет сократить сроки их проектирования, наладки и испытаний), называют адаптивными.
С учетом сказанного можно поставить вопрос о решении проблемы оптимизации в условиях неполной априорной информации (адаптивное оптимальное управление).
Изучение теории автоматического управления без учета физических процессов, протекающих в проектируемой системе, может привести к полной беспомощности в постановке и решении практических задач. Поэтому уделяется большое внимание изучению и применению численных методов для исследования и синтеза достаточно сложных автоматических систем с целью дать представление о реально используемых алгоритмах и таких понятиях, как корректность, устойчивость и обусловленность вычислительных схем.
До сих пор мы в основном изучали задачу анализа САУ, когда математическая модель замкнутой САУ считалась заданной, и требовалось определить качество её работы: устойчивость, точность воспроизведения входного сигнала и т.п.
Важной, и более сложной, является задача синтеза, когда заданными считаются математическая модель управляемого объекта (и может быть измерительного и исполнительного устройств). Требуется выбрать структуру САУ, закон управления и числовые значения параметров регулятора, определяющие желаемое качество САУ.
С задачами синтеза мы уже встречались. Синтез САУ можно проводить, используя критерии устойчивости, Д-разбиение, методы корневых годографов.
Синтез одномерных одноконтурных САУ с единичной ООС с помощью ЛАФЧХ разомкнутой системы
Этот метод использует тесную связь между переходной функцией замкнутой САУ при ступенчатом воздействии и вещественной частью частотной характеристики замкнутой САУ.
Здесь . (1)
Т.о. по частотным характеристикам разомкнутой системы можно определить частотные характеристики замкнутой системы и наоборот. Имеются номограммы, связывающие эти частотные характеристики.
По мы можем оценить переходный процесс (см. (1)).Таким образом, зная , мы можем оценить переходный процесс в системе.
Решать задачу синтеза САУ по частотным характеристикам удобнее, когда частотные характеристики построены в логарифмическом масштабе.
В логарифмическом масштабе по оси ординат у откладывается в дб.
Увеличение этого соотношения в 10 раз соответствует увеличению
По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе.
Декада – изменение частоты в 10 раз.
Главное преимущество построения частотных характеристик в логарифмическом масштабе состоит в том, что их можно строить приближенно, практически без вычислений.
Возьмем инерционное звено . Его передаточная функция ,
АЧХ. Частота, где , т.е. - частота сопряжения.
При приближенном построении ЛАЧХ:
1) в пренебрегаем и , а дБ
2) в пренебрегаем 1 и и в логарифмическом масштабе
Определим наклон при :
Следовательно, строя АЧХ в логарифмическом масштабе, можно убывающую часть характеристики заменить прямой с наклоном - 20дб/дек. Наибольшая погрешность будет в точке изгиба ().
Интегрирующее звено.
При .
Рассмотрим сначала на примере принцип построения приближенной ЛАЧХ (ФЧХ рассчитываются точно по формулам).
Приближенность построения ЛАЧХ заключается в том, что в частотной характеристике в членах :
1) при пренебрегают членом и звено рассматривают как усилительное ;
2) при пренебрегают 1 и рассматривают их как интегрирующее звено с частотной характеристикой , наклон характеристики которого – 20 дб/дек и при величина амплитуды равна 20lgK.
Частота, где - называется частотой сопряжения.
Определим частоты сопряжения, где ()
Во что превратится с учетом сделанных предположений:
Откладываем на оси частот частоты сопряжения.
Построение начинаем с интегрирующего звена: на частоте откладываем 20lgK=20lg100=40дб и проводим линию с наклоном -20дб/дек. На частоте «подсоединяем» еще одно интегрирующее звено – наклон стал -40дб/дек.
На частоте «подсоединяются» два дифференцирующих звена. У одного дифференцирующего звена наклон +20дб/дек , у двух интегрирующих звеньев наклон будет +40дб/дек, следовательно, результирующий наклон при будет -40дб/дек+40дб/дек=0 дб/дек.
Фазо-частотная характеристика рассчитывается.
| 1зв 2зв | |||||
| 0,2 | |||||
| 0,8 | |||||
| ∞ |
С помощью ЛАЧХ и ФЧХ нетрудно установить устойчивость замкнутой системы.
Согласно критерию устойчивости Найквиста, замкнутая САУ устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы имеет вид (астатическая система):
На частоте амплитуда равна 1 и поэтому - запас устойчивости по фазе.
Когда фаза равна , то - запас устойчивости по амплитуде.
Для устойчивости САУ необходимо, чтобы на
Синтез САУ с помощью ЛАЧХ
проводится следующим образом:
САУ представляют
В входят объект и известные элементы регулятора, например, измерительные, исполнительные устройства.
Корректирующее устройство, которое надо определить в процессе синтеза.
Тогда передаточная функция разомкнутой системы
Здесь - передаточная функция САУ, динамика которой удовлетворяет требованиям, предъявляемым к проектируемой системе.
Тогда в логарифмическом масштабе
Для минимально-фазовых САУ вид ЛАЧХ полностью определяет переходный процесс и не надо рассматривать фазо-частотную характеристику.
Минимально-фазовые звенья (системы) – такие, у которых корни числителя и знаменателя расположены в левой полуплоскости. Таким образом, передаточная функция минимально-фазовой системы не должна иметь нулей и полюсов в левой полуплоскости.
По виду можно записать передаточную функцию корректирующего звена. В данном случае она будет иметь вид:
В литературе приводятся таблицы, связывающие вид с
И с соответствующими схемами корректирующих устройств, реализующих эти . Приведенная выше может быть реализована в виде следующей корректирующей цепочки:
Здесь и мы знаем.
По графику определяем и , .
Отсюда находим .
По графику определяем .
Отсюда определяем .
Отсюда определяем .
Отсюда определяем .
Отсюда определяем .
Отсюда определяем .
Определив параметры корректирующего звена, вводим его в систему и моделируем САУ, получаем переходный процесс. Если он не устраивает – меняем параметры звена.
Требования к .
Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы строится из общих требований к системе:
1. точность (определяет коэффициент усиления),
2. порядок астатизма,
3. время переходного процесса,
4. перерегулирование.
1. должно пересекать ось частот в точке , обеспечивающей заданное время переходного процесса
А можно по другому:
Находится из номограмм, определяющих зависимость , здесь - перерегулирование.
Например,
2. Для того, чтобы САУ была устойчивой, должна пересекать ось частот с наклоном - 20 дб/дек.
3.Для обеспечения заданного
4.Среднечастотную часть характеристики надо делать как можно шире. Чем больше диапазон , тем ближе процесс к экспоненциальному.
Среднечастотная часть в основном и определяет качество переходного процесса.
Низкочастотная часть определяет точность процесса управления.
Существует и другой способ определения конечных точек центрального отрезка:
Запас устойчивости по фазе в точке при , определяемый по ЛФЧХ, должен быть не меньше
Запас устойчивости по модулю (по амплитуде) в точке L 2 выбирается в зависимости от перерегулирования :
Сопряжение центрального отрезка ЛАЧХ с низкочастотной частью производится прямой с наклоном - 40 дб/дек или – 60 дб/дек.
Высокочастотная часть, чтобы не усложнять корректирующее устройство, выбирают аналогичной исходной ЛАЧХ.
После построения надо проверить запас устойчивости по фазе. (на )
К сожалению, этот метод синтеза не гарантирует требуемого качества переходного процесса.
Порядок расчетов при синтезе САУ с последовательным
корректирующим устройством
1. Строится ЛАЧХ неизменной части САУ (без корректирующего уст-
ройства) .
2.По заданным требованиям к качеству строится желаемая ЛАЧХ .
3. По строится соответствующая ЛФЧХ.
4. Определяются запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
5. Путем вычитания из находят ЛАЧХ корректирующего устройства .
6.По выбирают его технический аналог.
7. Если технический аналог отличается, надо скорректировать с учетом технического аналога.
Если получен хороший результат, то решение задачи синтеза заканчивается. Если результат не удовлетворяет выбирается другой аналог.
Синтез САУ методом корневых годографов
Качество проектируемой САУ с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы.
Зная корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости. Корни могут быть определены расчетами с использованием стандартных программ.
Чем больше - степень устойчивости, и чем меньше - степень колебательности, тем лучше качество САУ.
При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться на плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которая называется траекторией корней или корневым годографом. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемых параметров, которые соответствуют наилучшему расположению корней.
Пусть имеется передаточная функция замкнутой системы
Коэффициенты числителя и знаменателя определенным образом выражены через параметры объекта, регулятора, корректирующих устройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра, то необходимо принять некоторые постоянные значения для всех остальных параметров, а для искомого параметра задавать различные числовые значения. Для каждого задаваемого значения варьируемого параметра необходимо вычислять значения корней числителя и знаменателя и строить траектории корней, по которым выбирают то значение параметра, которое обеспечивает наилучшее расположение корней.
Синтез с использованием стандартных переходных процессов
(метод стандартных коэффициентов)
Частный способ использования этого метода – диаграмма Вышнеградского для систем третьего порядка.
Стандартные переходные процессы строятся в нормированном виде при единичном входном воздействии по безразмерному времени , где
Синтез линейных САУ путем выделения границ устойчивости и границ заданной степени устойчивости
Выделив методом Д-разбиения область устойчивости, мы должны выбирать рабочую точку (определяемую параметрами системы) внутри этой области. Однако разным точкам будет соответствовать разное распределение корней характеристического уравнения, а следовательно, и разный характер переходного процесса. Хотелось бы иметь хороший переходный процесс.
Известно, что длительность переходного процесса определяется ближайшим к мнимой оси корнем.
Если нам задано требуемое время переходного процесса , то мы можем определить . Если корни будут расположены левее , то длительность переходного процесса будет меньше заданного . .
Если в уравнении (3) параметры, в плоскости которых хотим построить границу заданной степени устойчивости, входят в характеристическое уравнение линейно независимо, то к уравнению (3) можно применить рассмотренный раньше метод Д- разбиения. Выделенная граница будет линией заданной степени устойчивости.
Под синтезом понимают построение, создание, проектирование, настройку оптимальной системы по отношению к ее параметрам. Поэтому синтезом занимаются проектировщики, создатели САР. При эксплуатации уже созданных систем, например, серийно выпускаемых, речь может идти только о подстройке параметров при выходе системы из требуемых режимов по тем или иным причинам.
Методы синтеза
1. При создании САУ необходимого назначения прежде всего заботятся о том, чтобы она выполняла свои функции управления и регулирования с заданной точностью, имела оптимальный по технико-экономическим показателям состав элементной базы (усилители, регуляторы, преобразователи, двигатели, датчики и т.д.), чтобы она обеспечивала необходимую мощность, скорость, моменты движения, была простой, надежной, удобной в эксплуатации и экономичной.
На этом этапе вопросы динамики удается учитывать лишь в грубом приближении, например - не выбирать элементы заведомо неустойчивые, с большими постоянными времени, резонансные и т.д.
2. Вопросы обеспечения статических характеристик, точности отработки задаваемых команд и высоких технико-экономических показателей являются для технологических процессов и экономики центральными и для решения наиболее трудными. Поэтому, несмотря на то, что без хорошего качества динамических режимов САУ не будет принята в эксплуатацию, синтез ее структуры для обеспечения требуемых режимов проводится на втором этапе, когда функциональная схема, состав элементов и параметры системы предварительно установлены. Совместить сколько-нибудь эффективно оба этапа не удается.
В целом спроектированная на первом этапе САУ обычно представляет собой многоконтурную структуру со сложной передаточной функцией, анализ которой дает неудовлетворительные результаты по качеству переходных процессов. Поэтому ее необходимо упростить до желаемых характеристик и скорректировать.
Синтез САУ требуемого качества
Синтез системы должен проводиться путем изменения структуры для удовлетворения необходимым требованиям. Характеристики системы, которые соответствуют требованиям, называют желаемыми характеристиками в отличие от располагаемых, которые имеет исходная неоптимальная система.
Основой построения желаемых характеристик служат требуемые показатели системы: устойчивость, быстродействие, точность и др. Так как наибольшее распространение получили логарифмические частотные характеристики, то рассмотрим синтез САУ по желаемым ЛАЧХ и ЛФЧХ.
1. Построение желаемых характеристик начинают со среднечастотного участка, характеризующего устойчивость, быстродействие и форму переходного процесса системы. Положение его определяется частотой среза с.ж. (рис.1.8.1).
Частота среза определяется по требуемому времени переходного процесса tпп и допустимому перерегулированию:
Рис.2.
- 2. Через точку c проводят среднечастотную асимптоту желаемых характеристики с наклоном 20 дБ/дек (рис.1.8.1.).
- 3. Находим низкочастотную составляющую с 2.
Обычно задаются добротностью системы по скорости Dск и по ускорению Dуск.
Находим частоту
Пересечение этой асимптоты со среднечастотной ограничивает ее слева на сопрягающей частоте.
4. Сопрягающую частоту 3 выбирают так, чтобы 3/ 2=0,75 или lg 3-lg 2=0,7дек, обеспечивающий условия устойчивости.
В этом условии учтены соотношения:
которые также можно использовать для ограничения среднечастотной асимптоты.
Если нет ограничений в явном виде, то выбирают 2 и 3 из условий (рис.1.8.1,б)
L2=(616)дбLc(c) =-(616)дб(1.8.4)
Увеличение участка 3 - 2 нецелесообразно.
5. Находим низкочастотную составляющую с 1. По добротности скорости определяем коэффициент усиления
Dск=Kск.(1.8.5)
Откладываем на оси частот Kск, проводим асимптоту с наклоном 20 дБ/дек через эту точку и заканчиваем на пересечении со второй асимптотой. Точка пересечения и является низкочастотной составляющей c 1.
6. Проверяем на запас устойчивости по фазе
фаза на частоте среза c не должна превышать - с гарантией 45.
7. Проверяем выполнение условий непопадания желательной ЛАЧХ в запретную зону (рис.1.8.1,а).
и LK=20lgKск,(1.8.7)
где Kск= - коэффициент усиления разомкнутой системы или добротность по скорости.