Fourierova transformace je nejrozšířenějším prostředkem pro převod libovolné funkce času na množinu jejích frekvenčních složek v rovině komplexních čísel. Tato transformace může být aplikována na aperiodické funkce k určení jejich spekter, v takovém případě mohou být komplexní operátory nahrazeny /co:
Aby bylo možné určit nejzajímavější frekvence, lze použít numerickou integraci v komplexní rovině.
Abychom se seznámili se základy chování těchto integrálů, zvážíme několik příkladů. Na Obr. 14.6 (vlevo) ukazuje jednotkový plošný impuls v časové oblasti a jeho spektrální složení; uprostřed - puls stejné oblasti, ale větší amplitudy, a vpravo - amplituda pulsu je nekonečná, ale jeho plocha je stále rovna jednotce. Pravý obrázek je obzvláště zajímavý, protože spektrum pulsů s nulovou šířkou obsahuje všechny frekvence se stejnými amplitudami.
Rýže. 14.6. Spektra pulsů stejné šířky, podél stejné piaosrdi
V roce 1822 francouzský matematik J. BJ Fourier (JBJ Fourier) ve své práci o tepelné vodivosti ukázal, že libovolnou periodickou funkci lze rozložit na počáteční složky, včetně opakovací frekvence a sady harmonických této frekvence, přičemž každá z harmonických má svou vlastní amplitudu a fázi s ohledem na na frekvenci opakování. Základní vzorce používané ve Fourierově transformaci jsou:
kde A() představuje složku stejnosměrný proud, a A p a B p - harmonické základní frekvence řádu, respektive ve fázi a protifázi s ní. Funkce f(*) je tedy součtem těchto harmonických a Lo-
V případech, kdy je f(x) symetrický vzhledem k mc/2, tj. f(x) v oblasti od n do 2n = -f(x) v oblasti od 0 do n a není zde žádná stejnosměrná složka, vzorce Fourierovy transformace jsou zjednodušeny na:
kde n = 1, 3,5, 7…
Všechny harmonické jsou sinusoidy, pouze některé z nich jsou ve fázi a některé jsou mimo fázi se základní frekvencí. Většinu průběhů vyskytujících se ve výkonové elektronice lze tímto způsobem rozložit na harmonické.
Pokud je Fourierova transformace aplikována na pravoúhlé impulsy s délkou trvání 120°, pak harmonické budou množinou řádu k = bi ± 1, kde n je jedno z celých čísel. Amplituda každé harmonické h vzhledem k první je vztažena k jejímu číslu vztahem h = l//e. V tomto případě bude mít první harmonická amplitudu 1,1krát větší než amplituda obdélníkového signálu.
Fourierova transformace udává hodnotu amplitudy pro každou harmonickou, ale protože jsou všechny sinusové, efektivní hodnotu získáme jednoduše vydělením odpovídající amplitudy odmocninou ze 2. Efektivní hodnota komplexního signálu je druhou odmocninou součtu druhé mocniny efektivních hodnot každé harmonické, včetně první.
Při práci s opakujícími se impulsními funkcemi je užitečné vzít v úvahu pracovní cyklus. Pokud opakované pulzy na Obr. 14.7 mají efektivní hodnotu X v čase A, pak efektivní hodnota v čase B bude X(A/B) 1 2 . RMS hodnota opakujících se impulsů je tedy úměrná druhé odmocnině hodnoty pracovního cyklu. Aplikováním tohoto principu na 120° (pracovní cyklus 2/3) jednotkový obdélníkový impuls s amplitudou dostaneme efektivní hodnotu (2/3) 1/2 = 0,8165.
Rýže. 14.7. Určení střední hodnoty (RMS) pro opakování
impulsy
Je zajímavé ověřit tento výsledek sečtením harmonických odpovídajících zmíněnému obdélníkovému sledu vln. V tabulce. 14.2 ukazuje výsledky tohoto součtu. Jak vidíte, vše se shoduje.
Tabulka 14.2. Výsledky součtu harmonických odpovídajících
periodický signál s pracovním cyklem 2/3 a jednotkovou amplitudou
|
Harmonické číslo |
Harmonická amplituda |
Celková RMS |
Pro účely srovnání lze seskupit jakoukoli sadu harmonických a určit odpovídající celkovou úroveň harmonického zkreslení. V tomto případě je střední kvadratická hodnota signálu určena vzorcem
kde h\ je amplituda první (základní) harmonické a h„ je amplituda harmonických řádu n > 1.
Komponenty odpovědné za zkreslení lze zapsat samostatně jako
kde n > 1. Potom
kde Fund je první harmonická a celkové harmonické zkreslení (THD) se rovná D/Fund.
Ačkoli je analýza obdélníkových vln zajímavá, v reálném světě se používá jen zřídka. Spínací efekty a další procesy dělají pravoúhlé impulsy spíše lichoběžníkovými, nebo v případě měničů s náběžnou hranou popsanou výrazem 1 cos(0) a sestupnou hranou popsanou cos(0), kde 0< 0 na logaritmické stupnici je strmost odpovídajících částí tohoto grafu -2 a -1. U systémů s typickými hodnotami reaktance nastává změna strmosti přibližně na frekvencích od 11. do 35. harmonické síťové frekvence a s zvýšení reaktance nebo proudu v systému, frekvence změny sklonu klesá . Praktickým výsledkem toho všeho je, že vyšší harmonické jsou méně důležité, než by se mohlo zdát. Ačkoli zvýšení reaktance pomáhá snížit harmonické vyššího řádu, obvykle to není možné. Výhodnější je snížit harmonické složky ve spotřebovávaném proudu zvýšením počtu impulsů při usměrnění nebo napěťové konverzi, dosažené fázovým posunem. Pokud jde o transformátory, toto téma bylo zmíněno v kap. 7. Pokud je tyristorový měnič nebo usměrňovač napájen z vinutí transformátoru propojených hvězdou a trojúhelníkem a výstupy měniče nebo usměrňovače jsou zapojeny sériově nebo paralelně, dosáhne se 12pulzního usměrnění. Harmonická čísla v množině jsou nyní k = \2n ± 1 místo k = 6u + 1, kde n je jedno z celých čísel. Místo harmonických 5. a 7. řádu se nyní objevují harmonické 11. a 13. řádu, jejichž amplituda je mnohem menší. Je docela možné použít ještě více vlnek a například 48-pulzní systémy se používají ve velkých napájecích zdrojích pro elektrochemické instalace. Vzhledem k tomu, že velké usměrňovače a měniče používají sady diod nebo tyristorů zapojených paralelně, určují jeho cenu především dodatečné náklady na fázově posunutá vinutí v transformátoru. Na Obr. 14.8 ukazuje výhody 12-pulzního obvodu oproti 6-pulznímu. Harmonické harmonické 11. a 13. řádu ve 12pulzním obvodu mají typickou hodnotu amplitudy přibližně 10 % první harmonické. V obvodech s velkým počtem vlnění jsou harmonické řádu k = pn + 1, kde p je počet vlnění. Pro zajímavost si všimneme, že dvojice harmonických množin, které jsou vůči sobě jednoduše posunuty o 30°, se v 6-pulsním schématu navzájem neruší. Tyto harmonické proudy tečou zpět přes transformátor; proto je nutný dodatečný fázový posun, aby se získala možnost jejich vzájemné anihilace. Ne všechny harmonické jsou ve fázi s první. Například v třífázové harmonické sadě odpovídající 120° sledu čtvercových vln se fáze harmonických mění podle sekvence -5., +7., -11., +13. atd. Při nesymetrii v třífázovém obvodu se mohou vyskytovat jednofázové složky, což má za následek ztrojnásobení harmonických s nulovým fázovým posunem. Rýže. 14.8. Spektra 6 a 12 pulsačních měničů Izolační transformátory jsou často považovány za všelék na harmonické problémy. Tyto transformátory dodávají systému určitou reaktanci a tím pomáhají snižovat vyšší harmonické, avšak kromě potlačení nulové složky proudů a elektrostatické izolace jsou málo použitelné. Dekompozice periodických nesinusových funkcí Obecné definice Část 1. Teorie lineárních obvodů (pokračování) ELEKTROTECHNIKA TEORETICKÝ ZÁKLAD Učebnice pro studenty elektroenergetiky T. Elektrické obvody periodického nesinusového proudu Jak víte, v elektroenergetice se jako standardní forma pro proudy a napětí používá sinusový tvar. V reálných podmínkách se však tvary křivek proudů a napětí mohou do určité míry lišit od sinusových. Zkreslení tvarů křivek těchto funkcí v přijímačích vede k dalším ztrátám energie a snížení jejich účinnosti. Sinusový tvar křivky napětí generátoru je jedním z ukazatelů kvality elektrické energie jako komodity. Jsou možné následující důvody zkreslení tvaru křivek proudů a napětí ve složitém obvodu: 1) přítomnost nelineárních prvků v elektrickém obvodu, jejichž parametry závisí na okamžitých hodnotách proudu a napětí [ R, L, C=f(u,i)], (například usměrňovače, elektrické svařovací jednotky atd.); 2) přítomnost parametrických prvků v elektrickém obvodu, jejichž parametry se v čase mění [ R, L, C=f(t)]; 3) zdroj elektrické energie (třífázový generátor) vzhledem ke konstrukčním prvkům nemůže poskytnout ideální sinusový tvar výstupního napětí; 4) vliv v komplexu výše uvedených faktorů. Nelineární a parametrické obvody jsou diskutovány v samostatných kapitolách kurzu TOE. Tato kapitola zkoumá chování lineárních elektrických obvodů při vystavení zdrojům energie s nesinusovým průběhem. Z kursu matematiky je známo, že jakákoliv periodická funkce času F(t), který splňuje Dirichletovy podmínky, může být reprezentován harmonickou Fourierovou řadou: Tady A 0 - konstantní složka, - k-tá harmonická složka nebo zkrácená k Jsem harmonika. 1. harmonická se nazývá základní a všechny následující harmonické se nazývají nejvyšší. Amplitudy jednotlivých harmonických A to nezávisí na způsobu rozšíření funkce F(t) do Fourierovy řady, přičemž počáteční fáze jednotlivých harmonických závisí na volbě časové reference (původu). Jednotlivé harmonické Fourierovy řady lze reprezentovat jako součet sinusových a kosinových složek: Pak bude mít celá Fourierova řada podobu: Poměry mezi koeficienty dvou forem Fourierovy řady jsou: Li k harmonická a její sinusová a kosinová složka jsou nahrazeny komplexními čísly, pak lze poměr mezi koeficienty Fourierovy řady znázornit v komplexním tvaru: Je-li periodická nesinusová funkce času dána (nebo může být vyjádřena) analyticky ve formě matematické rovnice, pak se koeficienty Fourierovy řady určují pomocí vzorců známých z kurzu matematiky: V praxi se vyšetřuje nesinusová funkce F(t) se obvykle nastavuje ve formě grafického diagramu (graficky) (obr. 118) nebo ve formě tabulky souřadnic bodů (tabulka) v intervalu jedné periody (tabulka 1). Aby bylo možné provést harmonickou analýzu takové funkce podle výše uvedených rovnic, musí být nejprve nahrazena matematickým výrazem. Nahrazení funkce dané graficky nebo tabulkově matematickou rovnicí se nazývá aproximace funkce. Téměř každá periodická funkce může být rozložena na jednoduché harmonické pomocí trigonometrické řady (Fourierova řada): F(X) = + (a n cos nx + b n hřích nx), (*) Tuto řadu zapíšeme jako součet jednoduchých harmonických za předpokladu, že koeficienty jsou stejné a n= A n hřích j n, b n= A n cos j n. Dostaneme: a n cos j n + b n hřích j n = A n hřích( nx+ j n), kde A n= , tg j n = . (**) Pak řada (*) ve formě jednoduchých harmonických nabývá tvar F(X) = Fourierova řada představuje periodickou funkci jako součet nekonečného počtu sinusoid, ale s frekvencemi, které mají určitou diskrétní hodnotu. Někdy n harmonická se zapisuje jako a n cos nx + b n hřích nx = A n cos( nx – j n), kde a n= A n cos j n , b n= A n hřích j n . V čem A n a j n se určují podle vzorců (**). Poté bude mít tvar série (*). F(X) = Definice 9. Operace s periodickou reprezentací funkcí F(X) vedle Fouriera se nazývá harmonická analýza. Výraz (*) se také vyskytuje v jiné, běžnější podobě: Kurzy a n, b n se určují podle vzorců: velikost C 0 vyjadřuje průměrnou hodnotu funkce za období a nazývá se konstantní složka, která se vypočítá podle vzorce: V teorii kmitů a spektrální analýze reprezentace funkce F(t) ve Fourierově řadě se zapisuje jako: ty. periodická funkce je reprezentována součtem členů, z nichž každý je sinusový kmit s amplitudou C n a počáteční fáze j n, tedy Fourierova řada periodické funkce se skládá z jednotlivých harmonických s frekvencemi, které se od sebe liší konstantním číslem. Navíc má každá harmonická určitou amplitudu. Hodnoty C n a j n musí být správně zvoleny, aby platila rovnost (***), to znamená, že jsou určeny vzorci (**) [ C n = A n]. Přepišme Fourierovu řadu (***) jako Definice 10. Sada množství C n, tedy závislost amplitudy na frekvenci, se nazývá amplitudové spektrum funkce nebo amplitudové spektrum. Definice 11. Sada množství j n je nazýván fázové spektrum. Když řeknou jednoduše „spektrum“, mají na mysli přesně amplitudové spektrum, v ostatních případech udělají příslušné výhrady. Periodická funkce má diskrétní spektrum(to znamená, že může být reprezentován jako jednotlivé harmonické). Spektrum periodické funkce lze znázornit graficky. K tomu volíme souřadnice C n a w = nw jeden . Spektrum bude v tomto souřadnicovém systému znázorněno sadou diskrétních bodů, protože každá hodnota nw 1 odpovídá jedné konkrétní hodnotě S n. Graf skládající se z jednotlivých bodů je nepohodlný. Proto je zvykem znázorňovat amplitudy jednotlivých harmonických jako vertikální segmenty příslušné délky (obr. 2). Toto diskrétní spektrum je často označováno jako čárové spektrum. On je harmonické spektrum, tzn. sestává ze stejně rozmístěných spektrálních čar; harmonické frekvence jsou v jednoduchých vícenásobných poměrech. Samostatné harmonické, včetně první, mohou chybět, tzn. jejich amplitudy se mohou rovnat nule, ale to nenarušuje harmonickou spektrometrii. Diskrétní nebo čárová spektra mohou patřit k periodickým i neperiodickým funkcím. V prvním případě je spektrum nutně harmonické. Rozšíření Fourierovy řady lze zobecnit na případ neperiodické funkce. K tomu musíme aplikovat průchod do limity jako T®∞, přičemž neperiodickou funkci považujeme za limitní případ periodické funkce s nekonečně rostoucí periodou. Místo 1/ T zavést kruhovou základní frekvenci w 1 = 2p/ T. Tato hodnota je frekvenční interval mezi sousedními harmonickými, jejichž frekvence se rovnají 2p n/T. Li T® ∞, pak w 1® dw a 2p n/T® w, kde w je aktuální frekvence, která se neustále mění, dw- jeho přírůstek. V tomto případě se Fourierova řada změní na Fourierův integrál, což je expanze neperiodické funkce v nekonečném intervalu (–∞;∞) do harmonických kmitů, jejichž frekvence w plynule měnit z 0 na ∞: Neperiodická funkce má spojité nebo spojité spektrum, tzn. místo jednotlivých bodů je spektrum znázorněno jako souvislá křivka. To je získáno v důsledku přechodu k limitě z řady na Fourierův integrál: intervaly mezi jednotlivými spektrálními čarami se neomezeně zmenšují, čáry se spojují a místo diskrétních bodů je spektrum reprezentováno souvislou sekvencí bodů, tj spojitá křivka. Funkce A(w) a b(w) uveďte zákon rozdělení amplitud a počátečních fází v závislosti na frekvenci w. 2.1. Spektra periodických signálů
Periodický signál (proud nebo napětí) se nazývá takový typ ovlivnění, kdy se tvar vlny po určitém časovém intervalu opakuje T kterému se říká období. Nejjednodušší formou periodického signálu je harmonický signál nebo sinusovka, který je charakterizován amplitudou, periodou a počáteční fází. Všechny ostatní signály budou neharmonický nebo nesinusový. Lze ukázat a praxe to dokazuje, že pokud je vstupní signál zdroje periodický, pak budou periodické i všechny ostatní proudy a napětí v každé větvi (výstupní signály). V tomto případě se budou průběhy v různých větvích navzájem lišit. Existuje obecná technika pro studium periodických neharmonických signálů (vstupních akcí a jejich reakcí) v elektrickém obvodu, která je založena na rozkladu signálů do Fourierovy řady. Tato technika spočívá v tom, že je vždy možné vybrat určitý počet harmonických (tj. sinusových) signálů s takovými amplitudami, frekvencemi a počátečními fázemi, jejichž algebraický součet pořadnic je v každém okamžiku roven pořadnici studovaného nesinusový signál. Tedy například napětí u na Obr. 2.1. lze nahradit součtem napětí a , protože kdykoli nastane stejná rovnost: Pro uvažovaný příklad máme periodu první harmonické shodující se s periodou neharmonického signáluT 1
=
Ta perioda druhé harmonické je dvakrát menšíT 2
=
T/2, tzn. okamžité hodnoty harmonických by měly být zapsány jako: Zde jsou amplitudy harmonických kmitů navzájem stejné ( Rýže. 2.1. Příklad sčítání první a druhé harmonické neharmonický signál V elektrotechnice se nazývá harmonická složka, jejíž perioda je rovna periodě neharmonického signálu za prvé nebo základní harmonické signály. Všechny ostatní složky se nazývají vyšší harmonické složky. Je nazývána harmonická, jejíž frekvence je k krát větší než první harmonická (a perioda, v tomto pořadí, k krát menší). k - ta harmonická. Přidělte také průměrnou hodnotu funkce za období, které je voláno nula Harmonika. V obecném případě je Fourierova řada zapsána jako součet nekonečného počtu harmonických složek různých frekvencí: (2.1)
kde k je harmonické číslo; - úhlová frekvence k -té harmonické; ω 1 \u003d ω \u003d 2 π / T- úhlová frekvence první harmonické; - nulová harmonická. Pro běžně se vyskytující průběhy lze v odborné literatuře nalézt rozšíření Fourierovy řady. Tabulka 2 ukazuje rozšíření pro osm křivek. Je třeba poznamenat, že k rozšířením uvedeným v tabulce 2 dojde, pokud je počátek souřadnicového systému zvolen tak, jak je uvedeno na obrázcích vlevo; při změně původu času t počáteční fáze harmonických se změní, zatímco amplitudy harmonických zůstanou stejné. V závislosti na typu studovaného signálu by mělo být V chápáno buď jako hodnota měřená ve voltech, jde-li o napěťový signál, nebo jako hodnota měřená v ampérech, jde-li o proudový signál. Rozšíření Fourierových řad periodických funkcí tabulka 2 Plán F(t)
Fourierova řada funkcíF(t)
Poznámka k=1,3,5,... k=1,3,5,... k=1,3,5,... k=1,2,3,4,5 k=1,3,5,... k=1,2,3,4,5 S=1,2,3,4,.. k=1,2,4,6,.. Signály 7 a 8 jsou generovány ze sinusoidy obvody využívajícími ventilové prvky. Soubor harmonických složek, které tvoří nesinusový signál, se nazývá spektrum tohoto neharmonického signálu. Z tohoto souboru harmonických se rozlišují a rozlišují amplituda a fáze rozsah. Amplitudové spektrum je soubor amplitud všech harmonických, který je obvykle reprezentován diagramem ve formě sady svislých čar, jejichž délky jsou úměrné (ve zvoleném měřítku) hodnotám amplitudy harmonické složky a místo na vodorovné ose je určeno frekvencí (harmonickým číslem) této složky. Podobně jsou fázová spektra považována za soubor počátečních fází všech harmonických; jsou také zobrazeny v měřítku jako sada svislých čar. Je třeba poznamenat, že je obvyklé měřit počáteční fáze v elektrotechnice v rozsahu od -180 0 do +180 0. Volají se spektra skládající se z jednotlivých čar lemované nebo diskrétní. Spektrální čáry jsou v určité vzdálenosti F od sebe, kde F- frekvenční interval rovný frekvenci první harmonické F Diskrétní spektra periodických signálů mají tedy spektrální složky s více frekvencemi - F,
2F, 3F, 4F, 5F atd. Příklad 2.1. Najděte amplitudové a fázové spektrum pro obdélníkový signál, když jsou doby trvání kladných a záporných signálů stejné a průměrná hodnota funkce za období je nula u(t) = DPH 0<t<T/2
u(t) = -DPH T/2<t<T
Pro signály jednoduchých, často používaných forem je vhodné najít řešení pomocí tabulek. Rýže. 2.2. Lineární amplitudové spektrum obdélníkového signálu Z Fourierova rozšíření pravoúhlého signálu (viz tabulky 2 - 1) vyplývá, že harmonická řada obsahuje pouze liché harmonické, zatímco amplitudy harmonických klesají úměrně číslu harmonických. Amplitudové čárové spektrum harmonických je znázorněno na Obr. 2.2. Při konstrukci se předpokládá, že amplituda první harmonické (zde napětí) je rovna jednomu voltu: B; pak bude amplituda třetí harmonické rovna B, páté - B atd. Počáteční fáze všech harmonických signálu jsou rovny nule, proto má fázové spektrum pouze nulové hodnoty souřadnic. Problém je vyřešen. Příklad 2.2.Najděte amplitudu a fázové spektrum pro napětí, které se mění podle zákona: při - T/4<t<T/4; u(t) = 0 pro T/4<t<3/4T. Takový signál je tvořen ze sinusoidy eliminací (obvodem pomocí ventilových prvků) záporné části harmonického signálu. Rýže. 2.3. Čárové spektrum půlvlnného usměrňovacího signálu: a) amplituda; b) fáze Pro půlvlnný usměrňovací signál sinusového napětí (viz tab. 2 - 8) obsahuje Fourierova řada konstantní složku (nulovou harmonickou), první harmonickou a dále sadu pouze sudých harmonických, jejichž amplitudy rychle klesají. s rostoucím harmonickým číslem. Pokud například dáme hodnotu V = 100 B, pak vynásobením každého členu společným faktorem 2V/π zjistíme(2.2)
Amplitudová a fázová spektra tohoto signálu jsou znázorněna na obr. 2.3a,b. Problém je vyřešen. V souladu s teorií Fourierových řad se přesná rovnost neharmonického signálu k součtu harmonických odehrává pouze pro nekonečně velký počet harmonických. Výpočet harmonických složek na počítači umožňuje analyzovat libovolný počet harmonických, který je určen účelem výpočtu, přesností a formou neharmonických efektů. Pokud doba trvání signálut
bez ohledu na jeho tvar, mnohem méně období T, pak budou amplitudy harmonických klesat pomalu a pro úplnější popis signálu je nutné vzít v úvahu velké množství členů v řadě. Tuto vlastnost lze vysledovat pro signály uvedené v tabulkách 2 - 5 a 6 za předpokladu, že je splněna podmínka τ
<<T. Pokud se neharmonický signál blíží tvaru sinusoidy (například signály 2 a 3 v tabulce 2), pak harmonické rychle klesají a pro přesný popis signálu se stačí omezit na tři až pět harmonických v řadě. NESINUSOIDNÍ PROUDOVÉ OBVODY Dosud jsme studovali sinusové proudové obvody, ale zákon změny proudu s časem se může lišit od sinusového. V tomto případě probíhají nesinusové proudové obvody. Všechny nesinusové proudy jsou rozděleny do tří skupin: periodické, tzn. mít období T(obr. 6.1, a), neperiodické (obr. 6.1, b) a téměř periodické, s periodicky se měnící obálkou ( T o) a perioda opakování pulsu ( T i) (obr. 6.1, c). Existují tři způsoby, jak získat nesinusové proudy: a) nesinusové EMF působí v obvodu; b) v obvodu pracuje sinusové EMF, ale jeden nebo více prvků obvodu je nelineárních; c) v obvodu působí sinusové EMF, ale parametry jednoho nebo více prvků obvodu se periodicky v čase mění. V praxi se nejčastěji používá způsob b). Nesinusové proudy se nejvíce používají v radiotechnice, automatizaci, telemechanice a zařízení výpočetní techniky, kde se často nacházejí pulsy různých tvarů. V elektroenergetice existují nesinusové proudy. Budeme uvažovat pouze periodická nesinusová napětí a proudy, které lze rozložit na harmonické složky. f(ωt)=A Ó + A Ó + Odkud, jak vyplývá z vektorového diagramu (obr. 6.2), dostaneme Termíny zahrnuté v tomto výrazu se nazývají harmonické. Existují dokonce ( k– sudé) a liché harmonické. První harmonická se nazývá základní a zbytek - nejvyšší. Poslední forma Fourierovy řady je užitečná, když potřebujete znát procento každé harmonické. Stejný tvar Fourierovy řady se používá při výpočtu nesinusových proudových obvodů. Ačkoli Fourierova řada teoreticky obsahuje nekonečné množství členů, má tendenci rychle konvergovat. a konvergentní řada může vyjádřit danou funkci s jakýmkoli stupněm přesnosti. V praxi stačí vzít malý počet harmonických (3-5), aby bylo dosaženo přesnosti výpočtu několika procent. f(ωt)=sin(ωt+ψ 1 )+sin(3ωt+ψ 3 )+ 3 f(ωt)=А Ó + 4 f(ωt)= Pokud existuje nějaká symetrie ve vzorcích pro
a
integrál můžete brát půl periody, ale výsledek zdvojnásobte, tzn. používat výrazy V křivkách existuje několik typů symetrie současně. Pro usnadnění otázky harmonických složek v tomto případě vyplňujeme tabulku Nějaká symetrie 1. Osa X f(ωt)=-f(ωt+π) Pouze liché 2. Osa Y f(ωt)=f(-ωt) 3. Počátky f(ωt)=-f(-ωt) 4. Osy úseček a osy pořadnic f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt) zvláštní 5. Osy úseček a počátky f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt) zvláštní Pokud je nesinusová křivka dána grafem nebo tabulkou a nemá analytické vyjádření, použije se k určení jejích harmonických graficko-analytický rozklad. Je založen na nahrazení určitého integrálu součtem konečného počtu členů. Za tímto účelem období funkce f(ωt) vloupat se do n stejné části Δ ωt= 2π/ n(obr.6.6). Pak pro nulovou harmonickou kde: R– aktuální index (číslo sekce), který nabývá hodnot od 1 do n; F R (ωt) - funkční hodnotu f(ωt) na ωt=pΔ ωt(viz obr.6.6) .
Pro amplitudu sinusové složky k harmonická Pro amplitudu kosinové složky k harmonická Tady hřích p kωt a cos p kωt- hodnoty sinkωt a coskωt na ωt=p. Při praktických výpočtech člověk obvykle bere n= 18 (A ωt= 20˚) nebo n= 24 (A ωt= 15). U graficko-analytické expanze křivek ve Fourierově řadě je ještě důležitější než v analytické zjistit, zda má nějakou symetrii, jejíž přítomnost výrazně snižuje výpočetní práci. Takže vzorce pro
a
v přítomnosti symetrie mít formu Při konstrukci harmonických na obecném grafu je třeba vzít v úvahu, že měřítko podél osy x pro k harmonická in k krát více než první. Maximální, průměrné a efektivní hodnoty nesinusových veličin Periodické nesinusové veličiny se kromě harmonických složek vyznačují maximálními, průměrnými a efektivními hodnotami. Maximální hodnota A m je největší hodnota modulu funkce za období (obr. 6.7). Průměrná hodnota modulo je definována následovně Pokud je křivka symetrická kolem osy x a nikdy se během půlcyklu nezmění znaménko, pak se průměrná hodnota modulo rovná průměrné hodnotě za polovinu období a v tomto případě musí být časový odkaz zvolen tak, aby F( 0)=
0. Pokud funkce po celou dobu nezmění znaménko, pak se její průměrná hodnota modulo rovná konstantní složce. V nesinusových proudových obvodech jsou hodnoty EMF, napětí nebo proudů chápány jako jejich efektivní hodnoty určené vzorcem Je-li křivka rozšířena do Fourierovy řady, lze její efektivní hodnotu určit následovně Pojďme si vysvětlit výsledek. Součin sinusoid různých frekvencí ( kω a iω) je harmonická funkce a integrál za periodu libovolné harmonické funkce je roven nule. Integrál pod znaménkem prvního součtu byl určen v sinusových proudových obvodech a tam byla uvedena jeho hodnota. Proto, Z tohoto výrazu vyplývá, že efektivní hodnota periodických nesinusových veličin závisí pouze na efektivních hodnotách jejích harmonických a nezávisí na jejich počátečních fázích. ψ
k. Vezměme si příklad. Nechat u=120 Existují případy, kdy lze moduloprůměrné a efektivní hodnoty nesinusových veličin vypočítat na základě integrace analytického vyjádření funkce a pak není potřeba rozšiřovat křivku do Fourierovy řady. V elektroenergetice, kde jsou křivky převážně symetrické kolem osy x, se pro charakterizaci jejich tvaru používá řada koeficientů. Tři z nich našly největší využití: crest factor k a, tvarový faktor k f a faktor zkreslení k a. Jsou definovány takto: k a = A m / A; /A cf; k a = A 1 /A. Pro sinusoidu mají následující význam: k a =; k f = π A m /
2A m = 1,11; 1. D Výpočet nesinusových proudových obvodů Pokud má obvod jeden nebo více zdrojů s nesinusovým EMF, pak je jeho výpočet rozdělen do tří stupňů. 1. Rozklad zdrojů EMF na harmonické složky. Jak to udělat, je diskutováno výše. 2. Aplikace principu superpozice a výpočet proudů a napětí v obvodu z působení každé EMF složky zvlášť. 3. Společná úvaha (souhrn) řešení získaných v části 2. Sčítání složek v obecné podobě je nejčastěji obtížné a ne vždy nutné, protože na základě harmonických složek lze usuzovat jak na tvar křivky, tak na hlavní veličiny, které ji charakterizují. Ó H S Nesinusový proudový výkon Stejně jako v obvodech se sinusovým proudem budeme hovořit o výkonu spotřebovaném pasivní dvousvorkovou sítí. Činným výkonem se rozumí také průměrná hodnota okamžitého výkonu za dané období Nechť je napětí a proud na vstupu dvousvorkové sítě reprezentováno Fourierovou řadou Nahraďte hodnoty u a i do vzorce R Výsledek byl získán s přihlédnutím ke skutečnosti, že integrál za období od součinu sinusoid různých frekvencí je roven nule a integrál za období od součinu sinusoid stejné frekvence byl stanoven v úseku sinusoidy proudové obvody. Činný výkon nesinusového proudu je tedy roven součtu činných výkonů všech harmonických. To je jasné R k mohou být stanoveny libovolnými známými vzorci. Analogicky se sinusovým proudem se pro nesinusový proud zavádí pojem celkový výkon, jako součin efektivních hodnot napětí a proudu, tzn. S=UI. přístup R Na S se nazývá účiník a rovná se kosinusu nějakého podmíněného úhlu θ
, tj. cos θ
=P/S. V praxi se velmi často nesinusová napětí a proudy nahrazují ekvivalentními sinusoidami. V tomto případě musí být splněny dvě podmínky: 1) efektivní hodnota ekvivalentní sinusoidy se musí rovnat efektivní hodnotě nahrazované veličiny; 2) úhel mezi ekvivalentními sinusoidami napětí a proudu θ
by to mělo být takové UI cos θ
by se rovnalo činnému výkonu R. Proto, θ
je úhel mezi ekvivalentními sinusoidami napětí a proudu. Typicky se efektivní hodnota ekvivalentních sinusoid blíží efektivním hodnotám základních harmonických. Analogicky se sinusovým proudem se pro nesinusový proud zavádí pojem jalový výkon, definovaný jako součet jalových výkonů všech harmonických. Pro nesinusový proud na rozdíl od sinusového S 2 ≠P 2 +Q 2. Proto zde zavádíme pojem zkreslení T charakterizující rozdíl mezi tvary křivek napětí a proudu a definovaných následovně Vyšší harmonické v třífázových systémech V třífázových systémech křivky napětí ve fázích B a C obvykle přesně reprodukují křivku fáze A s posunem o třetinu periody. Takže když u A= f(ωt), pak u B = f(ωt- 2π/
3),
A u C = f(ωt+ 2π/
3).
Nechť fázová napětí jsou nesinusová a rozšířená do Fourierovy řady. Pak zvažte k–tá harmonická ve všech třech fázích. Nechat u Ak = U kmsin( kωt+ψ k), pak dostaneme uВk = U kmsin( kωt+ψ k -k 2π/
3) a u ck = U kmsin( kωt+ψ k +k 2π/
3). Porovnání těchto výrazů pro různé hodnoty k všimneme si, že pro harmonické, které jsou násobky tří ( k=3n, n- přirozená řada čísel, začínající od 0) ve všech fázích napětí v každém okamžiku mají stejnou hodnotu a směr, tzn. tvoří systém nulové sekvence. Na k=3n+ 1 harmonické tvoří soustavu napětí, jejichž sled se shoduje se sledem skutečných napětí, tzn. tvoří přímý sekvenční systém. Na k=3n- 1 harmonické tvoří soustavu napětí, jejichž sled je opačný než sled skutečných napětí, tzn. tvoří systém obrácené sekvence. V praxi nejčastěji chybí jak konstantní složka, tak všechny sudé harmonické, proto se v budoucnu omezíme na úvahy pouze o lichých harmonických. Pak nejbližší harmonická tvořící zápornou posloupnost je pátá. V elektromotorech působí největší škody, takže právě s ní se nelítostně perou. Zvažte vlastnosti provozu třífázových systémů způsobené přítomností harmonických, které jsou násobky tří. jeden Před připojením vinutí generátoru do pravidelného trojúhelníku se obvykle používá otevřený trojúhelník, aby se prověřila možnost jeho bezproblémové implementace. 3. Lineární napětí, bez ohledu na schéma zapojení vinutí generátoru nebo transformátoru, neobsahují harmonické, které jsou násobky tří. Při zapojení do trojúhelníku jsou fázové EMF obsahující harmonické, které jsou násobky tří, kompenzovány poklesem napětí na vnitřním odporu fáze generátoru. Podle druhého Kirchhoffova zákona totiž pro třetí, například harmonickou pro obvod na obr. 6.14, můžeme napsat U
AB3+ já
3 Z
3 =E
3, odkud se dostaneme U
AB3=0. Podobně pro kteroukoli z harmonických, které jsou násobky tří. Při připojení do hvězdy se lineární napětí rovnají rozdílu mezi odpovídajícími fázovými emfs. U harmonických, které jsou násobky tří, se při kompilaci těchto rozdílů fázové emf zničí, protože tvoří systém s nulovou posloupností. Ve fázových napětích tak mohou být přítomny složky všech harmonických a jejich efektivní hodnota. V lineárních napětích nejsou žádné harmonické, které jsou násobky tří, takže jejich efektivní hodnota je . V tomto ohledu, v přítomnosti harmonických, které jsou násobky tří, U l / U F<
.
.
(***)
kde w 1 je hlavní frekvence. Z toho můžeme vyvodit závěr: komplexní periodická funkce F(t) je určena množinou veličin C n a j n .
Rýže. 2.
. Každý z členů je sinusoida, jejíž frekvence kmitů souvisí s periodou T celočíselné poměry.
) a počáteční fáze se rovnají nule.
a) b)Rozklad periodických nesinusových křivek v trigonometrické Fourierově řadě
Jevy vyskytující se v lineárních obvodech při periodických nesinusových napětích a proudech lze nejsnáze vypočítat a studovat, pokud jsou nesinusové křivky rozšířeny do trigonometrické Fourierovy řady. Z matematiky je známo, že periodická funkce f(ωt), která splňuje Dirichletovy podmínky, tzn. který má na libovolném konečném časovém intervalu konečný počet nespojitostí pouze prvního druhu a konečný počet maxim a minim, lze rozšířit na trigonometrické Fourierovy řady 
sinωt+ 
sin2ωt+ 
sin3ωt+···+ 
cosωt+ 
cos2ωt+ 
cos3ωt+···=
.
Tady: A Ó– konstantní složka nebo nulová harmonická;
-
amplituda sinusové složky k-tá harmonická; 
-
kosinusová amplituda k harmonická. Určují se podle následujících vzorců
.Zvláštnosti rozšíření Fourierových řad křivek majících symetrii
1. Křivky, jejichž průměrná hodnota je za periodu rovna nule, neobsahují konstantní složku (nulovou harmonickou). 2 
f(ωt)=-f(ωt+π), pak se nazývá symetrický vzhledem k ose x. Tento typ symetrie lze snadno určit podle typu křivky: pokud ji posunete o půl periody podél osy úsečky, zrcadlíte ji a zároveň splyne s původní křivkou (obr. 6.3), dojde k symetrii. . Když se taková křivka rozšíří do Fourierovy řady, tato neobsahuje konstantní složku a všechny sudé harmonické, protože nesplňují podmínku f(ωt)=-f(ωt+π). 
sin(5ωt +ψ 5 )+···.
. Pokud funkce splňuje podmínku f(ωt)=f(-ωt), pak se nazývá symetrický vzhledem k ose y (sudý). Tento typ symetrie lze snadno určit podle typu křivky: pokud se křivka ležící vlevo od osy y zrcadlí a splyne s původní křivkou, pak existuje symetrie (obr. 6.4). Když se taková křivka rozšíří do Fourierovy řady, tato nebude mít žádné sinusové složky všech harmonických ( =
f(ωt)=f(-ωt). Proto pro takové křivky
cosωt+ 
cos2ωt+ 
cos3ωt+···.
. Pokud funkce splňuje podmínku f(ωt)=-f(-ωt), pak se nazývá symetrický vzhledem k počátku (lichý). Přítomnost tohoto typu symetrie lze snadno určit podle typu křivky: pokud je křivka ležící nalevo od osy y rozšířena vzhledem k body počátek souřadnic a splyne s původní křivkou, pak je symetrie (obr. 6.5). Když se taková křivka rozšíří do Fourierovy řady, tato nebude mít žádné kosinové složky všech harmonických ( 
=
0), protože nesplňují podmínku f(ωt)=-f(-ωt). Proto pro takové křivky
sinωt+ 
sin2ωt+ 
sin3ωt+···.
Při rozšiřování křivky do Fourierovy řady je třeba nejprve zjistit, zda má nějakou symetrii, jejíž přítomnost umožňuje předem předvídat, které harmonické budou ve Fourierově řadě a nedělat zbytečnou práci. Analytický výraz
Grafo-analytický rozvoj křivek ve Fourierově řadě
.
,
.
.
hřích (314 t+45˚)-50sin(3 314 t-75˚) B. Jeho efektivní hodnota
Pro obdélníkovou křivku (obr. 6.8, a) jsou koeficienty následující: k a = 1; k f = 1; k a =1,26/. Pro křivku špičatého (vrcholového) tvaru (obr. 6.8, b) jsou hodnoty koeficientů následující: k a > a čím vyšší, tím je jeho tvar vrcholovější; kφ >1,11 a čím vyšší, tím ostřejší je křivka; k a<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. У
Ukažme si jednu z praktických aplikací faktoru zkreslení. Napěťové křivky průmyslových sítí se obvykle odchylují od ideální sinusoidy. V elektroenergetice se zavádí pojem téměř sinusové křivky. Podle GOST je napětí průmyslových sítí považováno za prakticky sinusové, pokud největší rozdíl mezi odpovídajícími pořadnicemi skutečné křivky a její první harmonickou nepřesáhne 5 % amplitudy základní harmonické (obr. 6.9). Měření nesinusových veličin přístroji různých systémů dává různé výsledky. Amplitudové elektronické voltmetry měří maximální hodnoty. Magnetoelektrické přístroje reagují pouze na konstantní složku měřených hodnot. Magnetoelektrická zařízení s usměrňovačem měří modulo střední hodnotu. Přístroje všech ostatních systémů měří efektivní hodnoty.
hlavní fáze je druhá. Pokud je nesinusové EMF reprezentováno Fourierovou řadou, pak lze takový zdroj považovat za sériové zapojení zdroje konstantního EMF a zdrojů sinusového EMF s různými frekvencemi (obr. 6.10). Uplatněním principu superpozice a zvážením působení každého EMF samostatně je možné určit složky proudů ve všech větvích obvodu. Nechat E o vytváří já o , E 1 - i 1 , E 2 - i 2 atd. Pak skutečný proud i=já o + i 1 +i 2 +···
.
Proto je výpočet nesinusového proudového obvodu redukován na řešení jednoho problému s konstantním EMF a řady problémů se sinusovým EMF. Při řešení každého z těchto problémů je třeba vzít v úvahu, že indukční a kapacitní odpory nejsou pro různé frekvence stejné. Indukční reaktance je přímo úměrná frekvenci, takže je pro k harmonická X Lk = kωL=kx L1, tj. pro k harmonické, ve které je k krát více než první. Kapacitní reaktance je nepřímo úměrná frekvenci, takže je pro k harmonická XСk = 1/ kωС=X C1 / k, tj. pro k harmonické, ve které je k krát méně než první. Aktivní odpor v zásadě závisí také na frekvenci díky povrchovému efektu, avšak pro malé průřezy vodičů a při nízkých frekvencích povrchový efekt prakticky chybí a je přípustné předpokládat, že aktivní odpor je stejné pro všechny harmonické. Je-li nesinusové napětí přivedeno přímo na kapacitu, pak pro k harmonický proud
Čím vyšší je harmonické číslo, tím nižší je jeho kapacitní odpor. Proto, i když je amplituda napětí harmonické vyššího řádu malým zlomkem amplitudy první harmonické, stále může indukovat proud odpovídající nebo větší než základní proud. V tomto ohledu, i při napětí blízkém sinusovému, se proud v kapacitě může ukázat jako ostře nesinusový (obr. 6.11). Při této příležitosti se říká, že kapacita zdůrazňuje vysoké harmonické proudy. Pokud je přímo na indukčnost přivedeno nesinusové napětí, pak pro k harmonický proud
.
zvýšení řádu harmonických zvyšuje indukční reaktanci. V proudu procházejícím indukčností jsou proto vyšší harmonické zastoupeny v menší míře než v napětí na jejích svorkách. I při ostře nesinusovém napětí se křivka proudu v indukčnosti často blíží sinusoidě (obr. 6.12). Proto se říká, že indukčnost přibližuje proudovou křivku blíže sinusoidě. Při výpočtu každé harmonické složky proudu můžete použít komplexní metodu a vytvářet vektorové diagramy, ale je nepřijatelné provádět geometrické sčítání vektorů a sčítání komplexů napětí nebo proudů různých harmonických. Ve skutečnosti se vektory zobrazující řekněme proudy první a třetí harmonické otáčejí různými rychlostmi (obr. 6.13). Geometrický součet těchto vektorů tedy dává okamžitou hodnotu jejich součtu pouze tehdy, když ω
t=0 a v obecném případě nedává smysl.
. Při spojování vinutí generátoru nebo transformátoru do trojúhelníku (obr. 6.14) protékají jeho větvemi harmonické proudy, které jsou násobky tří, a to i bez vnější zátěže. Algebraický součet EMF harmonických, které jsou násobky tří ( E
3 , E
6 atd.), v trojúhelníku má trojnásobnou hodnotu, na rozdíl od ostatních harmonických, pro které je tento součet roven nule. Pokud je fázový odpor vinutí pro třetí harmonickou Z
3, pak bude třetí harmonický proud v trojúhelníkovém obvodu já
3 =E
3 /Z
3. Podobně proud šesté harmonické já
6 =E
6 /Z
6 atd. Efektivní hodnota proudu procházejícího vinutím bude 
. Protože odpor vinutí generátoru je malý, proud může dosáhnout velkých hodnot. Pokud jsou tedy harmonické ve fázi EMF, které jsou násobky tří, vinutí generátoru nebo transformátoru nejsou spojena do trojúhelníku. 2 
. Pokud zapojíte vinutí generátoru nebo transformátoru do otevřeného trojúhelníku (obr. 6.155), pak na jeho svorky bude působit napětí rovné součtu EMF harmonických, násobku tří, tzn. u BX=3 E 3m hřích (3 ωt+ψ 3)+3E 6m hřích (6 ωt+ψ 6)+3E 9m hříchu (9 ωt+ψ 9)+···.
Jeho efektivní hodnota
.
. 4. V obvodech bez nulového vodiče nelze harmonické proudy, které jsou násobky tří, uzavřít, protože tvoří systém nulové složky a lze je uzavřít pouze tehdy, je-li přítomen druhý. V tomto případě se mezi nulovými body přijímače a zdroje i v případě symetrické zátěže objeví napětí rovné součtu EMF harmonických, které jsou násobky tří, což lze snadno ověřit rovnicí druhého Kirchhoffova zákona, přičemž se bere v úvahu, že proudy těchto harmonických chybí. Okamžitá hodnota tohoto napětí u 0 1 0 =E 3m hřích (3 ωt+ψ 3)+E 6m hřích (6 ωt+ψ 6)+E 9m hříchu (9 ωt+ψ 9)+···.
Jeho efektivní hodnota 
. 5
. V obvodu hvězda-hvězda s nulovým vodičem (obr. 6.16) budou harmonické proudy, které jsou násobky tří, uzavřeny podél posledně jmenovaného, a to i v případě symetrické zátěže, pokud fázové EMF obsahují uvedené harmonické. Vzhledem k tomu, že harmonické, které jsou násobky tří, tvoří systém nulové posloupnosti, můžeme psát