Pomocí spektrálních charakteristik se odhadne vnitřní složení (spektrum) signálu. Pro tento signál x(t) reprezentovat ve formě zobecněné Fourierovy řady, rozšiřující ji z hlediska systému bázových funkcí T k(t)

kde Od Pro - konstantní koeficienty odrážející příspěvek funkce F^(?) k tvorbě hodnot signálu v uvažovaném časovém intervalu.

Schopnost reprezentovat komplexní signál x(t) ve formě součtu jednoduchých signálů se RDO ukazuje jako zvláště důležité pro lineární dynamické systémy. princip superpozice, tj. jejich reakce na součet vlivů (signálů) je rovna součtu reakcí na každý z vlivů zvlášť. Proto znát reakci lineární systém na jednoduchý signál je možné, sečtením výsledků, určit jeho reakci na jakýkoli jiný komplexní signál.

Volba funkce k(t) s výhradou požadavků na maximální přesnost aproximace signálu x(t)řada (7.21) s minimálním počtem členů této řady a pokud možno snížením výpočtových potíží, které vznikají při určování koeficientů řady S k.

Jako základní funkce jsou nejpoužívanější reálné goniometrické funkce

a komplexní exponenciální funkce

Na nich je založena klasická spektrální analýza signálů. Zároveň je možné použít další systémy bázových funkcí (funkce Taylor, Walsh, Laguerre, Hermite, Legendre, Chebyshev, Kotel'nikov atd.121), což v řadě případů umožňuje v úvahu specifika aproximované funkce x(t), snížit počet členů v řadě (7.21) při zachování dané aproximační chyby.

V posledních letech se objevil nový, velmi slibný systém základních funkcí, tzv vlnky. Na rozdíl od harmonických funkcí se dokážou přizpůsobit místním vlastnostem blížícího se signálu změnou jejich tvaru a vlastností. Výsledkem je, že je možné jednoduše reprezentovat komplexní signály (včetně signálů s místními skoky a diskontinuitami) pomocí sad vlnek toho či onoho typu.

Při použití goniometrických bázových funkcí (7.22) má řada (7.21) podobu klasické trigonometrické Fourierovy řady

kde Q \u003d 2n / T - frekvence základní harmonické řady (G - perioda signálu); k \u003d 1, 2, 3, ... - celé číslo; ak, bk - reálná čísla (Fourierovy koeficienty), vypočtená podle vzorců

V těchto vzorcích, stejně jako dříve (viz (7.20)), t 0 - libovolné číslo, které lze zvolit z důvodu pohodlí při výpočtu integrálů (7.25), protože hodnoty těchto integrálů závisí na množství t0 nezávisí; x T (t) - základní signálový impuls (viz obr. 7.3, v).

Součinitel 0 určuje dvojnásobnou průměrnou (za období) hodnotu signálu, zbývající koeficienty a k > b k (k= 1, 2, 3, ...) - příspěvek na harmonické Fourierovy řady (7.24) při tvorbě okamžitých hodnot signálu X(?).

Trigonometrická Fourierova řada (7.24) může být zapsána ve dvou dalších formách: ve formě sinusového rozšíření

a ve formě kosinusové expanze

kde L 0 /2 \u003d a 0 /2 - konstantní složka signálu; Ak- amplituda k-a sériové harmonické, vypočítané podle vzorce

Ze vztahů jsou vypočteny počáteční fáze těchto harmonických

Množina amplitud harmonických složek periodického signálu (A až )°? =( volala amplitudové spektrum tento signál. Součet počátečních fází těchto složek (φ/^)^ =1 - fázové spektrum signál.

Pomocí Dirac 5-funkce 8(?) lze znázornit obě spektra mřížkové funkce frekvence

t.s. amplitudová a fázová spektra periodického signálu jsou oddělený spektra. To odlišuje periodický signál od ostatních signálů se spojitými spektry.

Periodický signál lze tedy reprezentovat jako součet harmonických (7.24). V tomto případě je frekvence každé harmonické složky Fourierovy řady násobkem frekvence základní harmonické?2, která závisí na periodě signálu T.

Čím více takových harmonických, tím menší je chyba aproximace funkce x(t) konečný součet Fourierovy řady (7.24). Výjimkou jsou body nespojitosti funkce x(i). V blízkosti takových bodů, tzv Gibbsův fenomén|2|. Podle tohoto jevu jsou v blízkosti bodů nespojitosti konečné součty Fourierovy řady

tvoří oscilující „ocasy“, jejichž výška se nezmenšuje s nárůstem počtu harmonických zohledněných Fourierovy řady N- je to přibližně 9 % skoku ve funkci x(t) v bodě zlomu.

Pro výpočet amplitudy a počáteční fáze &-té harmonické periodického signálu lze namísto vzorců (7.28) a (7.29) použít vzorce

kde X t \u003d X t (p) \u003d L (x T (t)) index T variabilní X - Laplaceův obraz základního signálního impulsu, určený vzorcem (viz příloha 2)

já- imaginární jednotka; & = 0,1,2,... je kladné celé číslo. Použití těchto vzorců odstraňuje nutnost počítat integrály (7.25), což značně zjednodušuje výpočty. Ukažme si příklad takového výpočtu.

Příklad 7.1

Určete amplitudové spektrum periodického signálu Řešení

Na Obr. 7,3, ale, je znázorněn graf takového signálu. Je vidět, že signál má periodu T= i. Proto je frekvence základní harmonické odpovídající Fourierovy řady (7.24) rovna Q \u003d 2p / T \u003d 2 s-1. brát t0 = 0, x T (t) = hřích? (za 0 t

Rýže. 73.

ale - průběh; b - amplitudové spektrum signálu

Tudíž, A0/2 = 2/p, Ak= 4/i(4& 2 - 1), SCH= l, kde k= 1,2, 3, tzn. rozšíření funkce |sin(?)| do trigonometrické Fourierovy řady má tvar

Poznámka: zde je akceptováno f/, = l (a ns y k = 0) kvůli použití znaménka minus před součtem harmonických v sérii.

Na Obr. 7,3, b je zobrazeno amplitudové spektrum uvažovaného signálu. Hodnota amplitudy?-té harmonické řady A to reprezentovaný svislým segmentem příslušné délky, na jehož základně je harmonické číslo.

Je třeba poznamenat, že amplituda A to některé harmonické Fourierovy řady se mohou rovnat nule. Navíc monotónní pokles amplitud těchto harmonických s nárůstem harmonického čísla je volitelný, jako je tomu na Obr. 7,3, b.

Ve všech případech je však stav lim A to= 0, což vyplývá z

konvergence Fourierovy řady.

Vyřešme úlohu pomocí vzorců (7.32). K tomu nejprve najdeme Laplaceův obraz základního impulsu signálu x T (t)

Střídání zde p = ikQ = 2ik(kde i- pomyslná jednotka, k= 1, 2, 3,...), získáme, což se shoduje s předchozími výsledky.

V technických aplikacích se často používá komplexní forma Fourierovy řady

V tomto případě jsou jako báze funkce použity komplexní exponenciální funkce (7.23). Proto ty koeficienty C str série (7.36) stát obsáhlý. Vypočítávají se podle vzorce

kde, jako ve vzorci (7.6), proměnná indexu P může být kladné nebo záporné celé číslo.

Při použití komplexní formy Fourierovy řady (7.36) amplitudové spektrum periodický signál x(t) se nazývá množina absolutních hodnot komplexních Fourierových koeficientů C str

ale fázové spektrum- soubor hlavních argumentů těchto koeficientů

Mnoho množství (Z%)^ > = _ se nazývá výkonové spektrum periodický signál a množina komplexních čísel (Od str - spektrální sekvence periodický signál. Právě tyto tři charakteristiky (amplitudové spektrum, fázové spektrum a výkonové spektrum) jsou hlavními spektrálními charakteristikami periodického signálu.

Na rozdíl od amplitudových a fázových spekter periodického signálu, prezentovaných ve formě trigonometrické Fourierovy řady (7.24), se spektra téhož signálu, konstruovaná pomocí komplexních Fourierových koeficientů (7.37), ukazují jako bilaterální. To je důsledek přítomnosti v (7.36) "negativních frekvencí" na.(pro záporné hodnoty P). Ty druhé samozřejmě ve skutečnosti neexistují. Odrážejí pouze reprezentaci exponenciální harmonické funkce použité při tvorbě komplexní Fourierovy řady e~t ve formě jednotkového vektoru rotujícího ve směru hodinových ručiček s úhlovou rychlostí ω.

Pokud existuje Laplaceův obraz základního impulsu periodického signálu X T (p) = L (x T (t)), pak lze pomocí vzorců vypočítat spektrum amplitud a spektrum fází periodického signálu

Algoritmy tzv Rychlá Fourierova transformace, díky kterému je možné zkrátit čas na výpočet Fourierových koeficientů natolik, že spektra signálů při jejich zpracování jsou získávána téměř v reálném čase.

Na závěr si všimneme tří nejdůležitějších vlastností spektrálních charakteristik periodického signálu.

• 1. Pokud x(t) - je sudá funkce, pak jsou imaginární složky všech komplexních Fourierových koeficientů Im(C w ) rovny nule a naopak, pokud je tato funkce lichá, pak jsou reálné složky všech komplexních Fourierových koeficientů Re(Cn) rovny nule. .
• 2. V bodě diskontinuity prvního druhu t = tr funkcí x(t) Součet Fourierovy řady Svatý) se rovná polovině součtu limitních hodnot funkce, když se argument blíží k bodu přerušení t = r vlevo a vpravo, tzn.

Poznámka: pokud funkční hodnoty x (€) na koncích + D) základní impuls x T (t) nejsou si navzájem rovny, pak s periodickým pokračováním impulsu se tyto body stávají body diskontinuity prvního druhu.

3. Mocniny periodického signálu v časové a frekvenční oblasti jsou si navzájem rovné, tzn.

Tento poměr vyjadřuje Parsevalova věta.

Přítomnost "negativních frekvencí" ve vzorci (7.36) nQ.(celá léta

Účelem práce je seznámit se s principy měření spektrálního složení elektrické signály, získání dovedností v práci se spektrálními analyzátory, měření spektrálního složení elektrických signálů.

Pracovní program.

• 1. Kontrola hlavních technických charakteristik spektrálního analyzátoru.
• 2. Měření spektrálního složení periodických pulzních signálů.
• 3. Měření spektrálního složení modulovaných kmitů.

Základní ustanovení.

Spektrální složení elektrických signálů. K analýze formy elektrických signálů se široce využívá měření jejich spektrálního složení (frekvence). Komplexní periodické signály jsou kompletně popsány amplitudami a fázemi jejich spektrálních složek, ale ve většině případů stačí mít informace o amplitudě a frekvenci složek spektra signálu, tzn. o amplitudově-frekvenčním spektru.

Teoreticky lze spektrální složení periodického signálu určit jeho rozšířením do Fourierovy řady:

spektrální analyzátor elektrického signálu

kde A 0 je konstantní složka signálu, A k je amplituda k-té harmonické, je počáteční fáze k-té harmonické, W je frekvence první (základní) harmonické, k je ordinální číslo harmonické.

Z výrazu (1) vyplývá, že spektrum periodického signálu je diskrétní nebo lineární. Obecně platí, že periodický signál obsahuje časově nezávislou konstantní složku A 0 a nekonečnou sadu harmonických kmitů nazývaných harmonické, s frekvencemi, které jsou násobky základní frekvence periodické sekvence.

Konstantní složka signálu je definována jako jeho průměrná hodnota po dobu rovnající se periodě T:

Amplitudy jednotlivých harmonických jsou určeny vzorcem

Závislost amplitudy Ak na frekvenci je amplitudově-frekvenční spektrum a je graficky znázorněno ve formě spektrálního diagramu na Obr. jeden.

Kromě amplitudového spektra je teoreticky možné určit i fázové spektrum, což je závislost počátečních fází na frekvenci. Počáteční fáze jednotlivých harmonických se vypočítají podle vzorce

Tabulka 1 ukazuje amplitudová spektra některých periodických signálů.

stůl 1

původní signál	Amplitudové spektrum
Obdélníkové impulsy
AM signál
Amplitudově klíčovaný signál

Neperiodické signály, na rozdíl od periodických, mají spojité spektrum, tj. obsahují všechny frekvence bez výjimky. Amplitudy jednotlivých spektrálních složek v takových signálech jsou však nekonečně malé, takže jejich spektrální složení je popsáno nikoli amplitudami jednotlivých harmonických, ale spektrální hustotou X(), která je chápána jako poměr přírůstku amplitudy A k přírůstek frekvence při určité frekvenci, tzn

Teoreticky lze komplexní spektrální hustotu neperiodického signálu x(t) určit pomocí Fourierova integrálu.

V tomto případě komplexní spektrální hustota (6) nese informaci nejen o amplitudách, ale také o fázích spektrálních složek signálu. Amplitudové spektrum signálu x(t) je určeno modulem spektrální hustoty (6)

Kromě spektrální hustoty amplitud je teoreticky možné určit spektrální hustotu fází

Přístroje pro analýzu spektra elektrických signálů neboli spektrální analyzátory jsou určeny ke studiu amplitudově-frekvenčního spektra periodických elektrických signálů. Podle principu činnosti lze tato zařízení rozdělit na zařízení pro paralelní, sekvenční a sérioparalelní analýzu.

Strukturální schéma paralelní spektrální analyzátor je znázorněn na obr.2. Studovaný elektrický signál je přiváděn do řady paralelně zapojených elektrických filtrů, z nichž každý vybírá pouze jednu harmonickou ze spektra signálu. Na výstupu filtrů jsou zahrnuty indikátory harmonické amplitudy, na kterých vidíte hodnoty amplitud jednotlivých harmonických.

Přesnost měření frekvence spektrálních složek je určena šířkou pásma každého filtru. V praxi se šířky pásem sousedních filtrů poněkud překrývají, jak ukazuje obr. 3, takže při měření spektra pomocí filtrů je možné určit amplitudy signálů v určitém frekvenčním pásmu, které se shoduje s šířkou pásma filtru. Pro zlepšení přesnosti analýzy je šířka pásma filtrů co nejužší, avšak potřebný počet filtrů se prudce zvyšuje, což značně komplikuje vybavení.

Blokové schéma sekvenčního spektrálního analyzátoru je na obr.4. Zkoumaný elektrický signál x(t) je přiveden do SM směšovače, ve kterém je signál x(t) násoben harmonickým signálem přicházejícím z lokálního oscilátoru G. Pásmová propust PF extrahuje ze spektra na výstupu směšovače. signál, jehož frekvence je rovna rozdílu mezi harmonickou frekvencí vstupního signálu a frekvencí lokálního oscilátoru. Změnou frekvence lokálního oscilátoru je možné měřit amplitudy všech harmonických signálu x(t). Na výstupu PF pásmového filtru je zařazen indikátor, který se nejčastěji používá jako katodová trubice (CRT).

A pokud má studovaný signál x(t) spektrální složení určené výrazem

a harmonický signál lokálního oscilátoru je

pak je signál na výstupu směšovače určen výrazem

Složka signálu, pro kterou je podmínka splněna

kde je frekvence filtru, přejde na výstup filtru a zobrazí se na obrazovce CRT.

Změna frekvence lokálního oscilátoru umožňuje při konstantní frekvenci filtru izolovat ze spektra signálu x(t) harmonické s pořadovým číslem

Pro určení frekvence každé složky spektra je frekvenční ladění lokálního oscilátoru časově koordinováno s horizontálním pohybem paprsku katodové trubice. K tomu se používá jediný generátor rozmítání GR, který zajišťuje synchronní ladění lokálního oscilátoru, přičemž paprsek se pohybuje po obrazovce. Blokové schéma sekvenčního spektrálního analyzátoru s katodovou trubicí je na obr.5.

V sekvenčním spektrálním analyzátoru se tedy frekvenční složky spektra studovaného signálu postupně oddělují pomocí neladitelného PF pásmového filtru. Při rychlé změně frekvence lokálního oscilátoru se však napětí na výstupu pásmové propusti nestihne ustavit a v důsledku dynamického režimu měření vzniká specifická chyba. Pro snížení dynamické chyby je lokální oscilátor laděn velmi pomalu, což vede k prodloužení doby analýzy.

Blokové schéma sériově-paralelního spektrálního analyzátoru je na obr.6. Zkoumaný signál x(t) je přiváděn, jako v paralelním spektrálním analyzátoru, do řady pásmových filtrů. Abychom však získali obraz spektra na obrazovce katodové trubice (CRT), jsou výstupy filtru postupně zapojeny pomocí přepínače K. Nestacionární režimy způsobené lokálním laděním oscilátoru jsou tedy vyloučeny a analýza čas se zkracuje.

Vysoce přesný sériově-paralelní spektrální analyzátor vyžaduje velké množství filtrů, jejichž pásma by se neměla prakticky překrývat. Šířka pásma jednotlivých filtrů určuje chybu měření frekvence harmonických složek.

Hlavní Specifikace sériový spektrální analyzátor. Mezi hlavní technické vlastnosti sekvenčního spektrálního analyzátoru patří: frekvenční rozsah F, analyzovaný signál, rozpětí F K, šířka pásma F filtru, doba analýzy, chyby v měření frekvence a amplitudy spektrálních složek.

Frekvenční rozsah P analyzovaného signálu charakterizuje frekvenční pásmo, ve kterém lze určit harmonické. Tento rozsah v zařízení je rozdělen do sekcí F K , které se nazývají rozpětí. V rámci rozsahu F K jsou jednotlivé harmonické izolovány ze spektra studovaného signálu s rozlišením rovným šířce pásma F filtru.

Analýza spektra v pásmu F nějakou dobu trvá

Doba analýzy ve frekvenčním pásmu F analyzovaného signálu se zvyšuje o F/F krát a je rovna

V tomto ohledu se sekvenční analýza s šířkou pásma prakticky nepoužívá kvůli velké době analýzy. Tato okolnost omezuje nižší frekvenční rozsah sériové analyzátory s hodnotami 5,....., 10 Hz.

V sériových analyzátorech lze chyby v měření frekvence a amplitudy spektrálních složek rozdělit na statické a dynamické. Statické chyby jsou způsobeny nepřesným nastavením frekvence lokálního oscilátoru, nerovnoměrnou amplitudově-frekvenční charakteristikou směšovače, chybou referenčních děličů a chybou stupnice indikátoru.

Dynamické chyby jsou způsobeny laděním frekvence lokálního oscilátoru v rámci rozpětí. Když se změní frekvence lokálního oscilátoru, změní se rozdílová frekvence na vstupu PF pásmového filtru a amplituda napětí na výstupu filtru nestihne dosáhnout ustálené hodnoty. To vede k deformaci amplitudově-frekvenční charakteristiky filtru, která se vyznačuje relativní změnou maximální frekvenční charakteristiky filtru

a relativní frekvenční posun maxima

vzhledem ke statické odezvě filtru, kde frekvence dynamické odezvy PF; - frekvence statické charakteristiky PF; - hodnota maximální dynamické frekvenční charakteristiky PF; - hodnota maximální statické frekvenční charakteristiky PF.

Mění se i šířka pásma filtru v dynamickém režimu, který se vyznačuje jeho relativním rozšířením

kde je šířka pásma PF v dynamickém režimu; - Šířka pásma PF ve statickém režimu.

Spektrální analyzátor S4-25 je určen k pozorování a měření spekter periodicky modulovaných a nemodulovaných signálů. Hlavní technické vlastnosti zařízení jsou uvedeny v tabulce 2.

tabulka 2

Blokové schéma zařízení je uvedeno na Obr. 7. Studovaný signál x(t) přes vstupní VD dělič a dolní propust dolní propusti vstupuje do SM směšovače, kde je převeden na frekvenci 108 MHz. Lokální oscilátor G1 je naladěn ve frekvenčním rozsahu od 108 do 158 MHz. Rozpětí je určeno frekvenčním rozsahem lokálního oscilátoru a pohybuje se od 0 do 50 MHz. To umožňuje zobrazit spektrum v celém frekvenčním rozsahu, v případě potřeby jej podrobněji prozkoumat v jakékoli části rozsahu nástroje.

Pro snížení rušení z frekvenčního měniče zařízení využívá dvojitou frekvenční konverzi pomocí druhého media mixu a druhého lokálního oscilátoru G2 pracujícího na frekvenci 100 MHz. Na výstupu druhého směšovače vzniká signál o frekvenci 8160 kHz, který prochází přes pásmový filtr BPF se šířkou pásma 300 kHz nebo quartzový filtr KF s nastavitelnou šířkou pásma od 3 do 70 kHz.

Po filtraci je signál detekován detektorem D, zesílen zesilovačem U a přiváděn na vertikální vychylovací desky katodové trubice CRT. Generátor rozmítání GR zajišťuje změnu frekvence lokálního oscilátoru G1 a s ním synchronní rozmítání paprsku CRT.

Měření frekvence a frekvenčních intervalů se provádí pomocí značek, které jsou spektrálními složkami kalibrátoru K. Pevné intervaly mezi značkami 0,1, I a 10 MHz se určují na stupnici pomocí přepínače značek. Hlavní ovládací prvky spektrálního analyzátoru a jejich účel jsou uvedeny v tabulce 3.

Tabulka 3

Vláda	Účel
Středová frekvence	Úprava frekvence ladění zařízení v rozsahu od 20 kHz do 50 MHz
	Hrubá a hladká změna rozsahu od 0 do 50 MHz
Šířka pásma	Změna šířky pásma: pevné pásmo 300 kHz nebo plynule nastavitelné pásmo - 3-70 kHz
Skenovat	Změňte rychlost zametání. V poloze OFF je rozmítání vypnuto
Vert. Měřítko	Změna měřítka indikátoru podél svislé osy
detektor	Změna časové konstanty detektoru. Zvýšení časové konstanty snižuje hladinu hluku bez změny průměrné úrovně
Citlivost	Změna útlumu vstupního děliče
Amplitudové čtení	Změna relativní úrovně tvořící spektrum

Pro zjednodušení metod řešení problémů obvodové analýzy jsou signály reprezentovány jako součet určitých funkcí.

Tento proces je podložen konceptem zobecněné Fourierovy řady. V matematice bylo prokázáno, že jakákoli funkce, která splňuje Dirichletovy podmínky, může být reprezentována jako řada:

Abychom určili, vynásobíme levou a pravou část řady a vezmeme integrál levé a pravé části:

pro interval, ve kterém jsou splněny podmínky ortogonality.

Je vidět, že máme výraz pro zobecněnou Fourierovu řadu:

Vybíráme konkrétní typ funkce pro rozšíření signálu do série. Jako takovou funkci zvolíme ortogonální systém funkcí:

Pro určení řady vypočítáme hodnotu:

Dostáváme tedy:

Graficky tato série znázorněno jako dva grafy harmonických složek amplitudy.

Výsledný výraz může být reprezentován jako:

Dostali jsme druhou formu záznamu trigonometrické Fourierovy řady. Graficky je tato řada prezentována ve formě dvou grafů – amplitudového a fázového spektra.

Pojďme najít komplexní formu Fourierovy řady, k tomu použijeme Eulerovy vzorce:

Graficky je spektrum v této podobě znázorněno na frekvenční ose v rozsahu.

Je zřejmé, že spektrum periodického signálu, vyjádřené v komplexní nebo amplitudové formě, je diskrétní. To znamená, že spektrum obsahuje složky s frekvencemi

Spektrální charakteristiky neperiodického signálu

Vzhledem k tomu, že jeden signál je v radiotechnice považován za neperiodický signál, abychom našli jeho spektrum, reprezentujeme signál jako periodický signál s periodou. Použijme transformaci Fourierovy řady pro dané období. Dostat za:

Analýza získaného výrazu ukazuje, že při , se amplitudy složek nekonečně zmenšují a nacházejí se spojitě na frekvenční ose. Pak, abychom se z této situace dostali, použijeme koncept spektrální hustoty:

Výsledný výraz dosadíme do komplexní Fourierovy řady, dostaneme:

Nakonec dostaneme:

Zde je spektrální hustota a samotný výraz je přímou Fourierovou transformací. K určení signálu z jeho spektra se používá inverzní Fourierova transformace:

Vlastnosti Fourierovy transformace

Ze vzorců přímé a inverzní Fourierovy transformace je zřejmé, že pokud se změní signál, změní se i jeho spektrum. Následující vlastnosti nastavují závislost spektra změněného signálu na spektru signálu před změnami.

1) Linearita Fourierovy transformace

Zjistili jsme, že spektrum součtu signálů se rovná součtu jejich spekter.

2) Časově posunuté spektrum signálu

Bylo zjištěno, že při posunu signálu se nemění amplitudové spektrum, ale pouze fázové spektrum o hodnotu

3) Změna časového měřítka

to znamená, že když se signál několikrát rozšíří (zúží), spektrum tohoto signálu se zúží (rozšíří).

4) Spektrum výchylky

5) Spektrum derivace signálu

Vezměte derivaci levé a pravé strany inverzní Fourierovy transformace.

Vidíme, že spektrum derivace signálu se rovná spektru původního signálu vynásobeného, ​​to znamená, že se mění amplitudové spektrum a mění se fázové spektrum o.

6) Integrální spektrum signálu

Vezměte integrál levé a pravé strany inverzní Fourierovy transformace.

Vidíme, že spektrum derivace signálu se rovná spektru původního signálu děleno,

7) Spektrum součinu dvou signálů

Spektrum součinu dvou signálů se tedy rovná konvoluci jejich spekter vynásobené koeficientem

8) Vlastnost duality

Pokud tedy spektrum odpovídá nějakému signálu, pak signál ve tvaru shodující se s výše uvedeným spektrem odpovídá spektru ve tvaru shodném s výše uvedeným signálem.

STÁTNÍ UNIVERZITA SAINT PETERSBURG

FYZIKÁLNÍ FAKULTA

SMĚR

"APLIKOVANÁ MATEMATIKA A FYZIKA"

Metody stanovení

spektrální charakteristiky

elektrické signály

Petrohrad

Úvod ................................................. ................................................. .. ................................. 3

Skutečná podoba Fourierovy řady................................................. ............................................................. ........ 3

Komplexní forma Fourierovy řady ................................................. ...................................................................... .............. 4

Spektrum periodické funkce ...................................................... .................................................. pět

Fourierova transformace ................................................ ................................................................... ............................. 6

Vlastnosti Fourierovy transformace ...................................................... ................................................................. ................ 7

Diskrétní spektrum signálu ................................................ ...................................................................... .............. ...... devět

Diskrétní Fourierova transformace ................................................... ...................................................................... ......... 12

Šíření spektra ................................................................. .................................................................... ... ................... čtrnáct

Laboratorní nastavení a měření ................................................................ ............................................. 15

Úkoly................................................................ ................................................. ...................................... 17

Příloha 1. Úsek sinusoidy ................................................. ... ................................................. osmnáct

Literatura................................................. ................................................. ........................ 19

Úvod

Toto dílo je první ze série laboratorní práce ve výukové laboratoři „Metody zpracování a přenosu informací“ (MOPI) Fyzikální fakulty Petrohradské státní univerzity. Laboratoř je realizována ve druhém ročníku a podporuje kurz přednášek "Fyzikální základy metod zpracování a přenosu informací". V této době je již předmět studenty absolvován, laboratoř je určena k upevňování a rozšiřování znalostí v této oblasti.

Myšlenka spektra signálu je nezbytná pro vývoj zařízení pro přenos informací, používá se pro nepřímé měření jiných fyzikálních veličin a jednoduše pro výpočet elektrického obvodu. Znalost spektra signálu umožňuje lépe porozumět jeho podstatě a není náhodou, že koloběh laboratorních prací začíná právě touto prací.

Práce bude mít výpočtový i experimentální charakter. Experimentální část práce obsahuje důležitý inovativní prvek - využití digitálního zpracování signálu, digitalizovaného pomocí systému sběru dat. Kromě toho je celá výpočetní část práce, stejně jako zpracování experimentálních výsledků, prováděna na základě moderního matematického balíku MATLAB a jeho doplňkové knihovny - Signal Processing Toolbox. Využívají se možnosti, které jim vlastní pro matematické modelování různých typů signálů a zpracování dat.

Předpokládá se, že čtenář je obeznámen se základním fungováním tohoto balíčku. Výpočtové programy a různé doplňky budou uvedeny v Žádostech o práci.

Reálná podoba Fourierovy řady

Uvažujme periodickou funkci s periodou rovnou: , kde je jakékoli celé číslo. Za určitých podmínek může být tato funkce reprezentována jako součet, konečný nebo nekonečný, harmonických funkcí formy , jehož období se shoduje s obdobím původní funkce , kde https://pandia.ru/text/78/330/images/image007_33.gif" width="19 height=24" height="24"> je konstanta ..gif" width="15" height="17 src=">. Vyřešíme tedy problém rozšíření periodické funkce na trigonometrické řady:

(1)

Samostatný výraz tohoto součtu https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23">. Naším úkolem je vybrat takové koeficienty a , pro který řádek (1) bude konvergovat k dané funkci https://pandia.ru/text/78/330/images/image013_18.gif" width="301 height=53" height="53"> (2)

kde jsou nové koeficienty vyjádřeny jako https://pandia.ru/text/78/330/images/image015_16.gif" width="105" height="24 src=">.gif" width="273" height= "117 "> (3)

Lze dokázat, že trigonometrické řady budou konvergovat rovnoměrně k funkci https://pandia.ru/text/78/330/images/image019_13.gif" width="48 height=53" height="53">.gif " width= "28" height="23 src="> lze s určitou přesností aproximovat polynomem trigonometrického řádu N, tedy konečný počet termínů.

Složitá forma Fourierovy řady

Další, komplexní forma trigonometrické řady se získá zápisem sinů a kosinů v (2) prostřednictvím komplexních exponentů:

(4)

Koeficienty reálné a komplexní formy jsou propojeny vztahy:

(5)

Pomocí vzorců (5) z (3) získáme výrazy pro koeficienty komplexního tvaru goniometrické řady. Tyto koeficienty lze zapsat pro libovolné číslo k následujícím způsobem

(6)

Goniometrická řada v komplexním tvaru konverguje rovnoměrně k funkci, pokud řada a konvergují. To bude platit, pokud původní funkce splňuje Dirichletovy podmínky.

Spektrum periodické funkce

Představme si pojem spektra periodické funkce. Je založena na možnosti reprezentovat signál buď jako skutečnou Fourierovu řadu (1) nebo jako komplexní řadu (4). To znamená, že reálné koeficienty a , nebo komplexní koeficienty nesou úplné informace o periodickém se známou periodou https://pandia.ru/text/78/330/images/image012_20.gif" width="21" height="24"> a nazývá se skutečné spektrum signálu..gif" width= "69" height="41 src=">). Proto se soubor nazývá amplitudové spektrum..gif" width="20" height="24">. Na rozdíl od skutečného spektra je komplexní spektrum definováno pro kladné i záporné frekvence. Níže ukážeme, že moduly tyto koeficienty určují amplitudové harmonické a lze je proto nazvat amplitudovým spektrem a argumenty (fázové spektrum) určují počáteční fáze harmonických..gif" width="61 height=29" height="29">. Tento vztah implikuje vlastnost parity pro amplitudové komplexní spektrum a lichost pro fázové spektrum.

Podívejme se, jak souvisí skutečná a komplexní spektra. Řadu (4) píšeme jako

Termíny se zápornými čísly mohou být vyjádřeny termíny s kladnými čísly, protože a . Pak zůstane pouze součet s kladnými čísly

Po sečtení exponentů se stejnými čísly https://pandia.ru/text/78/330/images/image035_4.gif" width="237" height="53"> (9)

Porovnáním řad (1) a (9) získáme požadovaný vztah mezi reálným a komplexním spektrem: a .

Protože se spektrum periodického signálu skládá z jednotlivých harmonických, nazývá se diskrétní nebo čárové. Harmonické frekvence jsou nepřímo úměrné periodě https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23"> je plynule diferencovatelná absolutně integrovatelná funkce na celé ose : . Neperiodický signál lze považovat za periodický, ale s nekonečně velkou periodou. Po provedení limitního přechodu z konečné do nekonečně velké periody signálu ve vzorcích (6) a (4) získáme vzorce pro přímé Fourierova transformace:

(10)

a naopak:

(11)

Funkce https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">. Spektrum neperiodického signálu je tedy spojité (v na rozdíl od čárového spektra periodického signálu), je definován na celé frekvenční ose.

Vlastnosti Fourierovy transformace

Zvažte základní vlastnosti Fourierovy transformace.

Linearita. Uvažujme funkce a mající spektra a:

Spektrum jejich lineární kombinace pak bude:

Časová prodleva..gif" width="28" height="23 src=">

(14)

Vypočítejme spektrum signálu posunutého v čase: https://pandia.ru/text/78/330/images/image050_1.gif" width="59" height="21">, pak

Dostali jsme, že zpoždění signálu je za čas https://pandia.ru/text/78/330/images/image055_1.gif" width="41" height="25">.

Změna měřítka. Předpokládáme, že spektrum je známé https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">.gif" width="36" height= "23">. Představujeme novou proměnnou , nahrazujeme integrační proměnnou https://pandia.ru/text/78/330/images/image059_1.gif" width="312" height="61"> (16)

Násobení https://pandia.ru/text/78/330/images/image041_3.gif" width="40 height=23" height="23"> signálem . Najděte spektrum tohoto signálu vynásobené .

Tedy vynásobením signálu https://pandia.ru/text/78/330/images/image062_1.gif" width="23" height="24">.

Spektrum derivátů. V tento případ klíčovým bodem je absolutní integrovatelnost funkce. Z toho, že integrál modulu funkce musí být omezený, vyplývá, že v nekonečnu musí funkce inklinovat k nule. Integrál derivace funkce se bere po částech, výsledné neintegrální členy se rovnají nule, protože funkce má v nekonečnu tendenci k nule.

(18)

Spektrum integrálu. Najdeme spektrum signálu https://pandia.ru/text/78/330/images/image065_1.gif" width="81" height="57">, to znamená, že signál nemá konstantní složku Tento požadavek je nutný proto, aby neintegrální členy byly rovné nule, když je integrál brán po částech.

(19)

Konvoluční teorém. Je známo, že https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> spektra funkcí a https://pandia.ru/text/ 78 /330/images/image069_1.gif" width="153" height="57"> skrz a . Abychom to udělali, ve Fourierově integrálu konvoluce jedné z funkcí nahradíme proměnnou , pak v exponentu můžete provést náhradu 181"> (20)

Fourierova transformace konvoluce dvou signálů dává součin spekter těchto signálů.

Produkce signálů. Je známo, že https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> jsou spektra funkcí a https://pandia.ru/text / 78/330/images/image073_1.gif" width="53" height="23"> přes spektra a ..gif" width="409" height="123"> (21)

Spektrum součinu signálů je konvolucí spekter těchto signálů.

Diskrétní spektrum signálu

Zvláštní pozornost by měla být věnována diskrétním signálům, protože takové signály se používají při digitálním zpracování. Diskrétní signál, na rozdíl od spojitého, je posloupnost čísel odpovídajících hodnotám spojitého signálu v určitých okamžicích. Konvenčně lze diskrétní signál považovat za spojitý signál, který v určitých časech nabývá určitých hodnot a jindy je nulový (obr. 1).

https://pandia.ru/text/78/330/images/image078_1.gif" width="87" height="24"> (22)

Obdélníkové pulsy mají trvání https://pandia.ru/text/78/330/images/image079_1.gif" width="19 height=24" height="24">:

(23)

Amplituda pulzu je zvolena tak, aby integrál pulzu za dobu byl . V tomto případě jsou hodinové impulsy bezrozměrné. Rozšiřujeme posloupnost takových impulsů na trigonometrické řady:

(24)

Chcete-li získat okamžité hodnoty signálu, https://pandia.ru/text/78/330/images/image082_1.gif" width="44" height="19">. vše se bude rovnat 1.

(25)

Přesně stejný tvar má rozšíření ve Fourierově řadě funkce:

(26)

Koeficienty rozšíření do trigonometrické řady hodinového signálu:

(27)

Potom bude diskrétní signál vypadat takto:

Při výpočtu Fourierovy transformace diskrétního signálu zaměníme operaci sčítání a integrace a poté použijeme vlastnost δ - Funkce:

Spektrum diskrétního signálu je periodická funkce. Uvažujme exponenciálu v jednotlivém členu jako funkci frekvence..gif" width="45" height="19">, a to bude perioda opakování celého spektra. spektrum diskrétního signálu má periodu opakování rovnou kvantizační frekvenci .

Udělejme další nápad. Vzhledem k tomu, že se jedná o součin funkcí a , je spektrum diskrétního signálu vypočítáno jako konvoluce spekter spojitého signálu https://pandia.ru/text/78/330/images/image094_1.gif " width="37" height="23"> .

(30)

Počítejme pomocí (25). Protože se jedná o periodickou funkci, její spektrum je diskrétní.

Takže konvoluce (30)

https://pandia.ru/text/78/330/images/image099_1.gif" width="39" height="23 src=">.

Samotná skutečnost, že v důsledku vzorkování dochází ke kvalitativním změnám ve spektru signálu, naznačuje, že původní signál může být zkreslený, protože je zcela určen jeho spektrem. Na druhou stranu však periodické opakování stejného spektra samo o sobě nezavádí do spektra nic nového, takže za určitých podmínek, když znáte hodnoty signálu v určitých okamžicích, můžete zjistit, jakou hodnotu má tento signál přijaté v jakémkoli jiném časovém okamžiku, to znamená získat původní spojitý signál. To je význam Kotelnikovovy věty, která klade podmínku na volbu kvantizační frekvence v souladu s maximální frekvencí ve spektru signálu.

Při porušení této podmínky dojde po digitalizaci signálu k superponování periodicky se opakujícího spektra (obr. 2). Spektrum vyplývající z překrytí bude odpovídat jinému signálu.

Rýže. 2. Překrytí spekter.

Diskrétní Fourierova transformace

V předchozí části bylo řečeno, že když je splněna podmínka Kotelnikovovy věty, vzorky diskrétního signálu uchovávají všechny informace o původním spojitém signálu, a tedy o jeho spektru. Spektrum signálu lze proto zjistit také z jeho diskrétních odečtů, což poskytuje dostatek příležitostí pro analýzu signálu v digitálním zpracování. Dříve se ukázalo, že spektrum periodického signálu je diskrétní, to znamená, že signál lze rozložit na určité harmonické. Diskrétní signál má periodické spektrum. Diskrétní periodický signál bude mít diskrétní periodické spektrum. Diskrétní signál je reprezentován jako posloupnost hodnot signálu v pevných časech ..gif" width="19" height="19 src=">, to znamená, že se provádí pro libovolný. Obvykle se používá diskrétní Fourierova transformace signál určený vzorky jako vektor prvků, vypočítaný podle vzorce:

(33)

Inverzní Fourierova transformace podle vzorce:

(34)

Porovnáním (33) s (4) dostaneme, že komplexní amplituda harmonické s číslem https://pandia.ru/text/78/330/images/image110_1.gif" width="69" height="43 src="> a odpovídá frekvenci nebo, což je totéž , kde je kvantizační frekvence v hertzech: https://pandia.ru/text/78/330/images/image114_0.gif" width="53" height="41 src="> je kvantizační období, období je považováno za rovné trvání zaznamenaného fragmentového signálu.

V MATLABu se diskrétní Fourierova transformace provádí pomocí příkazu fft (Fast Fourier Transform), který provádí výpočty pomocí speciálního algoritmu rychlé transformace. Syntaxe příkazu:

y = fft(x, n, dim)

x je vektor se vzorky signálu;

y - vektor s výsledkem transformace ;

n je volitelný parametr, který určuje počet vzorků signálu použitých k provedení transformace. V tomto případě bude vektor y sestávat z n prvků;

dim je volitelný parametr, který určuje číslo dimenze, pomocí které se transformace provádí. Používá se, když x obsahuje více signálů, každý ve sloupci nebo řádku, jak je označeno dim.

Podobné rozhraní má příkaz, který provádí inverzní transformaci:

x = ift(n, n, dim)

Příkaz fft vrací pole, ve kterém harmonické amplitudy odpovídají harmonickým frekvencím v rozsahu https://pandia.ru/text/78/330/images/image117_0.gif" width="80" height="48 src=" >, známější Obecně platí, že pokud jsou všechny hodnoty vektoru x reálné, což je typické pro jakoukoli měřenou fyzikální veličinu, pak, jak je uvedeno výše (9), pouze harmonické ve frekvenčním rozsahu mají hodnotu https:// pandia.ru/text/78/330 /images/image104_1.gif" width="20" height="24 src="> je přesně jedna perioda signálu. To znamená, že v tomto případě musí zaznamenaný úsek periodického signálu periodicky pokračovat, přičemž perioda opakování musí být dobou trvání celého záznamu signálu. Pokud se doba trvání záznamu liší od periody signálu, který byl zaznamenán, pak při periodickém opakování záznamu signálu bude tvar signálu a jeho spektrum zkresleny.

Například byl zaznamenán sinusový signál s tečkou a doba trvání záznamu je , a , kde je celé číslo. Poté se při periodickém opakování záznamu signálu (obr. 3) objeví nespojitosti prvního druhu, protože hodnoty signálu na začátku a na konci záznamu jsou různé.

https://pandia.ru/text/78/330/images/image054_1.gif" width="13" height="15">. Segment zaznamenaného signálu lze také interpretovat jako původní signál konvolvovaný obdélníkem puls, který určuje segment času Pak podle vlastností Fourierovy transformace bude spektrum zaznamenaného signálu součinem původního spektra se spektrem obdélníkového pulsu (obr. 4).

https://pandia.ru/text/78/330/images/image123.jpg" width="562" height="229 src=">

Rýže. 5. Laboratorní instalace.

Zvažte každý blok tohoto schématu podrobněji.

1. Zdrojem analogových signálů modelu je Generátor signálu modelu. Lze použít následující zařízení (dle výběru učitele):

· Standardní laboratorní generátor signálů různých tvarů (sinusové a obdélníkové impulsy);

Digitální generátor namontovaný na digitálně-analogovém převodníku (DAC) zařízení L-Card ;

· Pomocí MATLABu lze signály přehrávat na zvukové kartě počítače.

Pomocí MATLABu bylo možné reprodukovat signály téměř libovolného tvaru, jejichž spektrum je v audio rozsahu, možnosti jsou omezeny pouze vlastnostmi zvukové karty, a to kvantizační frekvencí, frekvenční charakteristikou a maximální možnou hodnotou napětí. . Zvukové karty určené především pro reprodukci zvuku mají frekvenční odezva, který umožňuje reprodukovat signál ve frekvenčním rozsahu přibližně od 100 Hz do 20 kHz. Tyto hranice jsou definovány vnitřní zařízení zvuková karta, většinou se tam používají filtry, které omezují spektrum signálu v tomto rozsahu. Další vlastností zvukové karty je, že většina z nich umí pracovat pouze s určitými vzorkovacími frekvencemi: 8000Hz, 11025Hz, 22050Hz a 44100Hz. Výstupní napětí pro různé zvukové karty se může lišit, ale obvykle je maximální možná hodnota asi 1V. Výhoda zvukové karty:

Jsou téměř v každém počítači;

Podporováno mnoha programy, včetně MATLAB a Simulink.

Nevýhody:

Pro různé desky vlastnosti se mohou značně lišit;

Jako měřicí přístroj nemají třídu přesnosti;

Nedostatek vnitřních ochranných obvodů (galvanické nebo optické oddělení), což může vést k poruše.

2. Analogové signály odebrané z výstupu kteréhokoli z výše uvedených generátorů jsou vizuálně kontrolovány na obrazovce katodového osciloskopu. Taková kontrola je nutná pro pozorování tvaru generovaných signálů a nastavení jejich parametrů - amplitudy, trvání, periody opakování atd.

3. Dalším prvkem experimentálního nastavení je dolní propust (LPF). Tento analogové zařízení, který se v takových obvodech běžně používá. Jeho účelem je omezit spektrum studovaných signálů shora, aby byly splněny podmínky Kotelnikovovy věty. Maximální kvantizační frekvence L-Card je 125 kHz, pak z Kotelnikovovy věty, aby se signál obnovil bez zkreslení, by spektrum signálu nemělo překročit FGR:

Podle pokynů učitele byste měli připájet nejjednodušší dolní propust. Jeho schéma je znázorněno na Obr. 6.

https://pandia.ru/text/78/330/images/image126_0.gif" width="85" height="41"> (36)

4. Analogově-digitální převodník (ADC) - zařízení pro převod analogové signály do digitálních implementací, které lze zpracovat na počítači. Naše laboratoř používá L-Card typu L-761 a L-783 ADC umístěné přímo v systémová jednotka počítač.

Úkoly

1. Analyticky vypočítejte spektrální funkce periodických signálů jednoduchého tvaru zadaného učitelem (pravoúhlý obrazový impuls, trojúhelníkový impuls, exponenciální impuls atd.). Sestrojte grafy amplitudového a fázového spektra těchto signálů.

2. Proveďte Fourierovu analýzu uvedených signálů v MATLABu pomocí rychlé Fourierovy transformace (FFT). Sestrojte odpovídající grafy amplitudových a fázových spekter v oblasti kladných a záporných frekvencí (pomocí funkcí fft, fftshift, stem, poté, co si je prohlédnete v dokumentaci). Amplitudy harmonických a jejich frekvence na grafech musí odpovídat jejich hodnotám v daném signálu. Zvláštní pozornost věnujte vlivu poměru trvání pulsu a doby záznamu signálu na spektrum signálu, vysvětlete výsledek. Pro každý typ signálu ve stejných souřadnicích vyneste analyticky zjištěná amplitudová spektra (úloha 1) a numericky vypočtená.

3. Pomocí příkazu FFT najděte a porovnejte spektra segmentů sinusoidy skládajících se z celého čísla a neceločíselného počtu period.

4. Proveďte spektrální analýzu segmentu sinusoidy sestávajícího z několika period. Podívejte se, jak se spektrum mění v závislosti na počtu period.

5. Použití digitální osciloskop L-Graph k pozorování zkreslení signálu v důsledku porušení Kotelnikovovy věty. Chcete-li to provést, připojte ke kartě L-Card generátor analogového harmonického signálu, nastavte kmitočet kvantování, například 20 kHz, a plynulou změnou kmitočtu generátoru v rozsahu od 1 kHz do 20 kHz sledujte frekvenci digitalizovaného signál, vysvětlit pozorované účinky.

6. Nastavte kvantizační frekvenci na 100 kHz, frekvenci generátoru harmonického signálu na 10 kHz a amplitudu na 1 V. Zaznamenejte úsek harmonického signálu s délkou trvání 0,01 s a vykreslete jeho amplitudové spektrum v MATLABu. Přitom frekvence a amplitudy na grafu by měly odpovídat těm, které skutečně existují.

7. Pomocí výsledků získaných v první úloze aproximujte pravoúhlý impuls s konečným počtem členů goniometrické řady. Porovnejte na stejném grafu původní impuls a přibližné dvě první harmonické, prvních deset harmonických.

Příloha 1. Úsek sinusoidy

K dokončení jednoho z úkolů budete muset napsat program pro výpočet spektra sinusoidy, níže je příklad takového programu. Na začátku programu jsou definovány parametry, které specifikují dobu trvání signálu v periodách a počet period. Změnou těchto parametrů můžete získat různé možnosti pro segment sinusoidy.

clear, clc, zavřít vše

f0 = 1000; % sinusové frekvence

N1 = 20; % trvání celé stopy v obdobích

N2 = 10; % počet čtení za období

N3 = 2; % počet období

N = N1*N2; % počtu vzorků v celém záznamu

fs = f0*N2; % vzorkovací frekvence

% vytvoří signál

t = (0:(N-l))/fs; % čas

x(1:N2*N3) = sin(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);

% vypočítat rozsah

X = fftshift(abs(fft(x))/N);

f = (ceil(N/2)-N:ceil(N/2)-1)*fs/N;

subplot(2,1,1), plot(t, x,"k"), xlabel("t, c"), ylabel("x(t)")

subplot(2,1,2), stem(f, X,"k."), xlabel("f, Hz"), ylabel("|X|")

Literatura

1. Budylinův a Fourierův integrál. Petrohradská státní univerzita. 2002.

2., Romanovovy transformace v MATLABu. SPb. 2007

3. Smirnov z vyšší matematiky (sv.

Fourierovy obrazy - komplexní koeficienty Fourierovy řady F(j w k) periodický signál (1) a spektrální hustota F(j w) neperiodický signál (2) - mají řadu společných vlastností.

1. Linearita . Integrály (1) A (2) provést lineární transformaci funkce F(t). Proto je Fourierův obraz lineární kombinace funkcí roven podobné lineární kombinaci jejich obrazů. Li F(t) = A 1 F 1 (t) + A 2 F 2 (t), pak F(j w) = A 1 F 1 (j w) + A 2 F 2 (j w), kde F 1 (j w) a F 2 (j w) - Fourierovy obrazy signálů F 1 (t) A F 2 (t), resp.

2. Zpoždění (změna původu času pro periodické funkce) . Zvažte signál F 2 (t), na chvíli zpožděn t 0 vzhledem k signálu F 1 (t), který má stejný tvar: F 2 (t) = F 1 (t – t 0). Pokud signál F 1 má obrázek F 1 (j w), pak Fourierův obraz signálu F 2 se rovná F 2 (j w) == . Násobením a dělením výrazy seskupujeme takto:

Od posledního integrálu je F 1 (j w), pak F 2 (j w) = E -j w t 0 F 1 (j w) . Tedy, když je signál na čas zpožděn t 0 (změna původu času), modul jeho spektrální hustoty se nezmění a argument se sníží o w t 0 úměrná době zpoždění. Proto amplitudy spektra signálu nezávisí na původu a počáteční fáze se zpožděním t 0 snížení o w t 0 .

3. Symetrie . Pro platné F(t) obraz F(j w) má konjugovanou symetrii: F(– j w) = . Li F(t) je sudá funkce, pak Im F(j w) = 0; pro lichou funkci Re F(j w) = 0. Modul | F(j w)| a skutečná část Re F(j w) - sudé frekvenční funkce, argument arg F(j w) a Im F(j w) - liché.

4. Diferenciace . Z přímého transformačního vzorce, integrujícího po částech, získáme spojení obrazu derivace signálu F(t) s obrázkem samotného signálu

Pro absolutně integrovatelnou funkci F(t) neintegrální člen je roven nule, a tedy v , a poslední integrál představuje Fourierův obraz původního signálu F(j w) . Proto Fourierův obraz derivace df/dt souvisí s obrazem samotného signálu vztahem j w F(j w) - při diferenciaci signálu se jeho Fourierův obraz násobí j w Stejný vztah platí pro koeficienty F(j w k), které jsou určeny integrací v konečných mezích od – T/2 až + T/2. Ve skutečnosti je produkt v příslušných mezích

Od vzhledem k periodicitě funkce F(T/2) = F(– T/2), a = = = (– 1) k, pak v tomto případě člen mimo integrál zmizí a vzorec

kde šipka symbolicky označuje operaci přímé Fourierovy transformace. Tento vztah lze také zobecnit na vícenásobnou diferenciaci: pro n-tá derivace, kterou máme: d n f/dt n (j w) nF(j w).

Získané vzorce nám umožňují najít Fourierův obraz derivací funkce z jejího známého spektra. Tyto vzorce je také vhodné aplikovat v případech, kdy v důsledku derivace dojdeme k funkci, jejíž Fourierův obraz se vypočítá jednodušeji. Takže když F(t) je po částech lineární funkce, pak její derivace df/dt je po částech konstanta a integrál přímé transformace pro ni lze nalézt elementárně. Získat spektrální charakteristiky integrálu funkce F(t) jeho obrázek by měl být rozdělen na j w

5. Dualita času a frekvence . Porovnání integrálů přímé a inverzní Fourierovy transformace vede k závěru o jejich zvláštní symetrii, která se stane zřejmější, pokud vzorec pro inverzní transformaci přepíšeme a přeneseme faktor 2p na levou stranu rovnice:

Pro signál F(t), což je sudá funkce času F(– t) = F(t), kdy je spektrální hustota F(j w) - skutečná hodnota F(j w) = F(w), oba integrály lze přepsat do trigonometrické formy kosinové Fourierovy transformace:

Se vzájemnou výměnou t a w integrály přímých a inverzních transformací se vzájemně transformují. Z toho vyplývá, že pokud F(w) představuje spektrální hustotu sudé funkce času F(t), pak funkce 2p F(w) je spektrální hustota signálu F(t). Pro liché funkce F(t) [F(t) = – F(t)] spektrální hustota F(j w) čistě imaginární [ F(j w) = jF(w)]. Fourierovy integrály jsou v tomto případě redukovány do tvaru sinusových transformací, z čehož vyplývá, že pokud spektrální hustota jF(w) odpovídá liché funkci F(t), pak hodnotu j 2p F(w) představuje spektrální hustotu signálu F(t). Grafy časové závislosti signálů těchto tříd a jejich spektrální hustota jsou tedy vzájemně duální.

Integrální (1)

Integrální (2)

V radiotechnice je široce používána spektrální a časová reprezentace signálů. Signály jsou sice ze své podstaty náhodné procesy, nicméně jednotlivé implementace náhodného procesu a některé speciální (například měřicí) signály lze považovat za deterministické (tedy známé) funkce. Ty se obvykle dělí na periodické a neperiodické, ačkoli striktně periodické signály neexistují. Signál se nazývá periodický, pokud splňuje podmínku

na časovém intervalu , kde T je konstantní hodnota, nazývaná perioda, a k je libovolné celé číslo.

Nejjednodušším příkladem periodického signálu je harmonické kmitání (nebo zkráceně harmonické).

kde je amplituda, = je frekvence, je kruhová frekvence, je počáteční fáze harmonické.

Důležitost konceptu harmonických pro teorii a praxi radiotechniky je vysvětlena řadou důvodů:

1. harmonické signály si při průchodu stacionární lineární jednotkou zachovávají svůj tvar a frekvenci elektrické obvody(například filtry), měnící pouze amplitudu a fázi;
2. harmonické signály se generují celkem jednoduše (například pomocí LC oscilátorů).

Neperiodický signál je signál, který je v konečném časovém intervalu nenulový. Neperiodický signál lze považovat za periodický, ale s nekonečně velkou periodou. Jednou z hlavních charakteristik neperiodického signálu je jeho spektrum. Spektrum signálu je funkce, která ukazuje závislost intenzity různých harmonických ve složení signálu na frekvenci těchto harmonických. Spektrum periodického signálu je závislost koeficientů Fourierovy řady na frekvenci harmonických, kterým tyto koeficienty odpovídají. Pro neperiodický signál je spektrum přímou Fourierovou transformací signálu. Spektrum periodického signálu je tedy diskrétní spektrum (diskrétní funkce frekvence), zatímco neperiodický signál je charakterizován spojitým spektrem (spojitým) spektrem.

Věnujme pozornost tomu, že diskrétní a spojitá spektra mají různé rozměry. Diskrétní spektrum má stejný rozměr jako signál, zatímco rozměr spojitého spektra je roven poměru rozměru signálu k rozměru kmitočtu. Pokud je např. prezentován signál elektrické napětí, pak bude diskrétní spektrum měřeno ve voltech [V] a spojité spektrum ve voltech na hertz [V/Hz]. Proto se pro spojité spektrum používá i termín "spektrální hustota".

Nejprve zvažte spektrální reprezentaci periodických signálů. Z kursu matematiky je známo, že jakákoliv periodická funkce, která splňuje Dirichletovy podmínky (jednou z nezbytných podmínek je podmínka konečné energie), může být reprezentována Fourierovou řadou v trigonometrickém tvaru:

kde určuje průměrnou hodnotu signálu za období a nazývá se konstantní složka. Frekvence se nazývá základní frekvence signálu (frekvence první harmonické) a její násobky se nazývají vyšší harmonické. Výraz (3) může být reprezentován jako:

Inverzní vztahy pro koeficienty aab mají tvar

Obrázek 1 ukazuje typický pohled na graf amplitudového spektra periodického signálu pro trigonometrický tvar řady (6):

Použití výrazu (Eulerův vzorec).

místo (6) můžeme napsat komplexní tvar Fourierovy řady:

kde koeficient se nazývá komplexní amplitudy harmonických, jejichž hodnoty, jak vyplývá z (4) a Eulerova vzorce, jsou určeny výrazem:

Při srovnání (6) a (9) poznamenáváme, že při použití komplexní formy Fourierovy řady nám záporné hodnoty k umožňují mluvit o složkách s "negativními frekvencemi". Objevení se záporných frekvencí je však formální povahy a je spojeno s použitím složitého zápisu k reprezentaci skutečného signálu.

Pak místo (9) dostaneme:

má rozměr [amplituda / hertz] a ukazuje amplitudu signálu na pásmo 1 Hertz. Proto se tato spojitá frekvenční funkce S(jw) nazývá spektrální hustota komplexních amplitud nebo jednoduše spektrální hustota. Zaznamenáváme jednu důležitou okolnost. Při porovnání výrazů (10) a (11) si všimneme, že pro w=kwo se liší pouze konstantním faktorem a

ty. komplexní amplitudy periodické funkce s periodou T lze určit ze spektrální charakteristiky neperiodické funkce stejného tvaru, uvedené v intervalu . Výše uvedené platí také s ohledem na modul spektrální hustoty:

Z tohoto vztahu vyplývá, že obálka spojitého amplitudového spektra neperiodického signálu a obálka amplitud čárového spektra periodického signálu se tvarově shodují a liší se pouze měřítkem. Vypočítejme nyní energii neperiodického signálu. Vynásobením obou částí nerovnosti (14) s(t) a integrací v nekonečných limitách dostaneme:

kde S(jw) a S(-jw) jsou komplexně konjugované veličiny. Protože

Tento výraz se nazývá Parsevalova rovnost pro neperiodický signál. Určuje celkovou energii signálu. Z toho vyplývá, že neexistuje nic jiného než energie signálu na 1 Hz frekvenčního pásma kolem frekvence w. Proto se funkce někdy nazývá spektrální hustota energie signálu s(t). Nyní uvádíme bez důkazu několik vět o spektrech vyjadřujících hlavní vlastnosti Fourierovy transformace.