Каждому беспроводному устройству нужна антенна. Это проводящее механическое устройство представляет собой преобразователь, который преобразует передаваемый радиочастотный (RF) сигнал в электрические и магнитные поля, составляющие радиоволну. Он также преобразует полученную радиоволну обратно в электрический сигнал. Для антенн возможно почти бесконечное множество конфигураций. Однако большинство из них основано на двух основных типах: дипольных и штыревых антеннах.
Понятие «антенны»
Радиоволна содержит электрическое поле, перпендикулярное магнитному полю. Оба перпендикулярны направлению распространения (рисунок ниже). Это электромагнитное поле и создает антенну. Сигнал, излучаемый устройством, вырабатывается в передатчике и затем отправляется на антенну с помощью линии передачи, обычно коаксиального кабеля.
Линии представляют собой магнитные и электрические силовые линии, которые движутся вместе и поддерживают друг друга, когда они «движутся наружу» от антенны.
Напряжение создает электрическое поле вокруг антенных элементов. Ток в антенне создает магнитное поле. Электрические и магнитные поля объединяются и регенерируют друг друга в соответствии с известными уравнениями Максвелла, и «комбинированная» волна отправляется с антенны в пространство. При приеме сигнала электромагнитная волна индуцирует напряжение в антенне, которое преобразует электромагнитную волну обратно в электрический сигнал, который может быть дополнительно обработан.
Первичным рассмотрением в ориентации любой антенны является поляризация, которая относится к ориентации электрического поля (E) с землей. Это также ориентация передающих элементов относительно земли. Вертикально установленная антенна, перпендикулярная к земле, излучает вертикально поляризованную волну. Таким образом, горизонтально расположенная антенна излучает горизонтально поляризованную волну.
Поляризация также может быть и круговой. Специальные конфигурации, такие как винтовые или спиральные антенны, могут излучать вращающуюся волну, создавая вращающуюся поляризованную волну. Антенна может создавать направление вращения либо вправо, либо влево.
В идеальном случае антенны как на передающем, так и на приемном устройстве должны иметь одинаковую поляризацию. На частотах ниже примерно 30 МГц волна обычно отражается, преломляется, вращается или иным образом модифицируется атмосферой, землей или другими объектами. Следовательно, согласование поляризации на двух сторонах не является критическим. На частотах ОВЧ, УВЧ и СВЧ поляризация должна быть одинаковой для обеспечения максимально качественной передачи сигнала. И, обратите внимание, что антенны демонстрируют взаимность, то есть они одинаково хорошо работают как на передачу, так и на прием.
Диполь или симметричная вибраторная антенна
Диполь представляет собой полуволновую структуру из проволоки, трубки, печатной платы (PCB) или другого проводящего материала. Он разделен на две равные четверти длины волны и подпитывается линией передачи.
Линии показывают распределение электрических и магнитных полей. Одна длина волны (λ) равна:
половина волны:
λ/2 = 492/f MHz
Фактическая длина обычно сокращается в зависимости от размера антенных проводов. Лучшее приближение к электрической длине:
λ/2 = 492 K/f MHz
где K — коэффициент, связывающий диаметр проводника с его длиной. Это 0,95 для проводных антенн с частотой 30 МГц или менее. Или:
λ/2 = 468/f MHz
Длина в дюймах:
λ/2 = 5904 K/f MHz
Значение K меньше для элементов большего диаметра. Для трубки диаметром в полдюйма K составляет 0,945. Дипольный канал для 165 МГц должен иметь длину:
λ/2 = 5904(0.945)/165 = 33.81 дюйма
или два 16,9-дюймовых сегмента.
Длина важна, потому что антенна является резонансным устройством. Для максимальной эффективности излучения он должен быть настроен на рабочую частоту. Однако антенна работает достаточно хорошо на узком диапазоне частот, как резонансный фильтр.
Полоса пропускания диполя является функцией его структуры. Обычно он определяется как диапазон, в котором отношение коэффициента стоячей волны антенны (КСВ) меньше 2:1. КСВ определяется величиной отраженного сигнала от устройства назад по линии передачи, подающей на него. Это функция импеданса антенны с отношением к импедансу линии передачи.
Идеальной линией передачи является сбалансированная проводящая пара с сопротивлением 75 Ом. Также можно использовать коаксиальный кабель с характеристическим импедансом 75 Ом (Zo). Коаксиальный кабель с характеристическим импедансом 50 Ом также может использоваться, так как он хорошо соответствует антенне, если он меньше половины длины волны над землей.
Коаксиальный кабель является несбалансированной линией, так как радиочастотный ток будет протекать снаружи коаксиального экрана, создавая некоторые нежелательные индуцированные помехи в соседних устройствах, хотя антенна будет работать достаточно хорошо. Лучший метод подачи — использовать симметрирующий трансформатор в точке подачи с коаксиальным кабелем. Симметрирующий трансформатор — это трансформаторное устройство, которое преобразует сбалансированные сигналы в несбалансированные сигналы или наоборот.
Диполь может быть установлен горизонтально или вертикально в зависимости от желаемой поляризации. Линия подачи идеально должна проходить перпендикулярно к излучающим элементам, чтобы избежать искажения излучения, поэтому диполь наиболее часто ориентирован горизонтально.
Диаграмма излучения сигнала антенны зависит от ее структуры и монтажа. Физическое излучение является трехмерным, но обычно оно представлено как горизонтальными, так и вертикальными диаграммами направленности.
Горизонтальная диаграмма направленности диполя представляет собой цифру восемь (рисунок 3). Максимальный сигнал появляется на антенне. На рисунке 4 показана вертикальная диаграмма направленности. Это идеальные образцы, которые легко искажаются землей и любыми соседними объектами.
Усиление антенны связано с направленностью. Коэффициент усиления обычно выражается в децибелах (дБ) с учетом некоторого «эталона», такого как изотропная антенна, которая является точечным источником радиочастотной энергии, излучающая сигнал во всех направлениях. Подумайте о точечном источнике света, освещающем внутреннюю часть расширяющейся сферы. Изотропная антенна имеет коэффициент усиления 1 или 0 дБ.
Если передатчик формирует или фокусирует диаграмму излучения и делает ее более направленной, он имеет усиление по изотропной антенне. Диполь имеет коэффициент усиления 2,16 дБи по изотропному источнику. В некоторых случаях коэффициент усиления выражается в зависимости от дипольного задания в дБд.
Вертикальная антенна с дополнительными горизонтальными отражающими элементами
Данное устройство представляет собой, по существу, половину диполя, установленного вертикально. Термин монополь также используется для описания этой установки. Земля ниже под антенной, проводящая поверхность с наименьшим λ / 4 по радиусу или образец λ / 4-проводников, называемых радиальными, составляют вторую половину антенны (рис.5).
Если антенна подключена к хорошему заземлению, она называется антенной Маркони. Основной структурой служит другая λ / 4 половина передатчика. Если плоскость заземления имеет достаточный размер и проводимость, то производительность заземления эквивалентна вертикально установленному диполю.
Длина четвертьволновой вертикали:
λ/4 = 246 K/f MHz
Коэффициент K меньше 0,95 для вертикалей, которые обычно изготавливаются с более широкой трубкой.
Импеданс точки питания представляет собой половину диполя или примерно 36 Ом. Фактическая цифра зависит от высоты над землей. Подобно диполю, плоскость заземления является резонансной и обычно имеет реактивный компонент в своем основном импедансе. Наиболее распространенной линией передачи является 50-Ω коаксиальный кабель, поскольку он относительно хорошо соответствует импедансу антенны с КСВ ниже 2: 1.
Вертикальная антенна с дополнительным отражающим элементом является ненаправленной. Горизонтальная диаграмма направленности — это круг, в котором устройство излучает сигнал одинаково хорошо во всех направлениях. На рисунке 6 показана вертикальная диаграмма направленности. По сравнению с вертикальной диаграммой направленности диполя плоскость заземления имеет более низкий угол излучения, что дает преимущество более широкого распространения при частотах ниже примерно 50 МГц.
Выводы
Кроме того, могут быть выполнены две или более вертикальные антенны с дополнительным отражающим элементом для создания более направленного сигнала с усилением. Например, направленная радиостанция AM использует две или более башни для направления сильного сигнала в одном направлении, подавляя его в другом.
Коэффициент стоячей волны
Стоячие волны представляют собой схемы распределения напряжения и тока вдоль линии передачи. Если характеристический импеданс (Zo) линии соответствует выходному импедансу генератора (передатчика) и нагрузке антенны, напряжение и ток вдоль линии постоянны. При согласованном импедансе происходит максимальная передача мощности.
Если нагрузка антенны не соответствует линейному импедансу, не вся передаваемая мощность поглощается нагрузкой. Любая мощность, не поглощенная антенной, отражается назад по линии, мешая прямому сигналу и создавая изменения тока и напряжения вдоль линии. Эти вариации представляют собой стоячие волны.
Мерой этого несоответствия является коэффициент стоячей волны (КСВ). КСВ обычно выражается как отношение максимального и минимального значений прямого и обратного тока или значений напряжения вдоль линии:
КСВ = I max /I min = V max /V min
Другим более простым способом выразить КСВ является отношение характеризующего импеданса линии передачи (Zo) к импедансу антенны (R):
КСВ = Z o /R или R/Z o
в зависимости от того, какой импеданс больше.
Идеальный КСВ составляет 1: 1. КСВ от 2 до 1 указывает на отраженную мощность 10%, а это означает, что 90% передаваемой мощности поступает на антенну. КСВ 2: 1 обычно считается максимально допустимым для наиболее эффективной работы системы.
Рассмотрим поле простейшей системы точечных зарядов. Простейшей системой точечных зарядов является электрический диполь. Электрическим диполем называется совокупность равных по величине, но противоположных по знаку двух точечных зарядов –q и +q , сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние. Пусть – радиус-вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Вектор
называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом, а вектор – плечом диполя. Если длина пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется точечным.
Вычислим электрическое поле электрического точечного диполя. Поскольку диполь точечный, то безразлично в пределах точности расчета от какой точки диполя отсчитывается расстояние r до точки наблюдения. Пусть точка наблюдения А лежит на продолжении оси диполя (рис. 1.13). В соответствии с принципом суперпозиции для вектора напряженности, напряженность электрического поля в этой точке будет равна
при этом предполагалось, что , .
В векторной форме
где и – напряженности полей, возбуждаемых точечными зарядами –q и +q . Из рис 1.14 видно, что вектор антипараллелен вектору и его модуль для точечного диполя определится выражением
здесь учтено, что при сделанных предположениях .
В векторной форме последнее выражение перепишется следующим образом
Не обязательно, чтобы перпендикуляр АО проходил через центр точечного диполя. В принятом приближении полученная формула остается верной и тогда, когда за точку О принята любая точка диполя.
Общий случай сводится к разобранным частным случаям (рис. 1.15). Опустим из заряда +q перпендикуляр СD на линию наблюдения ВА . Поместим в точку D два точечных заряда +q и –q . Это не изменит поля. Но полученную совокупность четырех зарядов можно рассматривать как совокупность двух диполей с дипольными моментами и . Диполь мы можем заменить геометрической суммой диполей и . Применяя теперь к диполям и полученные ранее формулы для напряженности на продолжении оси диполя и на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя, в соответствии с принципом суперпозиции получим:
Учитывая, что , получим:
здесь использовано, что .
Таким образом, характерным для электрического поля диполя является то, что оно убывает во всех направлениях пропорционально , то есть быстрее, чем поле точечного заряда.
Рассмотрим теперь силы, действующие на диполь в электрическом поле. В однородном поле заряды +q и –q окажутся под действием равных по величине и противоположных по направлению сил и (рис. 1.16). Момент этой пары сил будет:
Момент стремится повернуть ось диполя в положение равновесия, то есть в направлении вектора . Существует два положения равновесия диполя: когда диполь параллелен электрическому полю и антипараллелен ему. Первое положение будет устойчиво, а второе нет, так как в первом случае при малом отклонении диполя от положения равновесия возникнет момент пары сил, стремящийся вернуть его в исходное положение, во втором случае возникающий момент уводит диполь ещё дальше от положения равновесия.
Теорема Гаусса
Как было сказано выше, силовые линии условились проводить с такой густотой, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было бы равно модулю вектора . Тогда по картине линий напряженности можно судить не только о направлении, но и величине вектора в различных точках пространства.
Рассмотрим силовые линии неподвижного положительного точечного заряда. Они представляют собой радиальные прямые, выходящие из заряда и заканчивающиеся на бесконечности. Проведем N таких линий. Тогда на расстоянии r от заряда число силовых линий, пересекающих единицу поверхности сферы радиуса r , будет равно . Эта величина пропорциональна напряженности поля точечного заряда на расстоянии r. Число N всегда можно выбрать таким, чтобы выполнялось равенство
откуда . Поскольку силовые линии непрерывны, то такое же число силовых линий пересекает замкнутую поверхность любой формы, охватывающую заряд q. В зависимости от знака заряда силовые линии либо входят в эту замкнутую поверхность, либо выходят наружу. Если число выходящих линий считать положительным, а входящих – отрицательным, то можно опустить знак модуля и записать:
| . | (1.4) |
Поток вектора напряженности. Поместим в электрическое поле элементарную площадку, имеющую площадь . Площадка должна быть настолько малой, чтобы напряженность электрического поля во всех ее точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль к площадке (рис. 1.17). Направление этой нормали выбирается произвольно. Нормаль составляет угол с вектором . Потоком вектора напряженности электрического поля через выделенную поверхность называется произведение площади поверхности на проекцию вектора напряженности электрического поля на нормаль к площадке:
где – проекция вектора на нормаль к площадке .
Поскольку число силовых линий, пронизывающих единичную площадку, равно модулю вектора напряженности в окрестности выделенной площадки, то поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Поэтому, в общем случае, наглядно поток вектора напряженности поля через площадку можно интерпретировать как величину, равную числу силовых линий, пронизывающих эту площадку:
| . | (1.5) |
Заметим, что выбор направления нормали условен, ее можно направить и в другую сторону. Следовательно, поток – величина алгебраическая: знак потока зависит не только от конфигурации поля, но и от взаимной ориентации вектора нормали и вектора напряженности. Если эти два вектора образуют острый угол, поток положителен, если тупой – отрицателен. В случае замкнутой поверхности принято нормаль брать наружу области, охватываемой этой поверхностью, то есть выбирать внешнюю нормаль.
Если поле неоднородно и поверхность произвольна, то поток определяется так. Всю поверхность надо разбить на малые элементы площадью , вычислить потоки напряженности через каждый из этих элементов, а потом просуммировать потоки через все элементы:
Таким образом, напряженность поля характеризует электрическое поле в точке пространства. Поток напряженности зависит не от значения напряженности поля в данной точке, а от распределения поля по поверхности той или иной площади.
Силовые линии электрического поля могут начинаться только на положительных зарядах и заканчиваться на отрицательных. Они не могут начинаться или обрываться в пространстве. Поэтому, если внутри некоторого замкнутого объема нет электрического заряда, то полное число линий, входящих в данный объем и выходящих из него, должно равняться нулю. Если из объема выходит больше линий, чем входит в него, то внутри объема находится положительный заряд; если входит линий больше, чем выходит, то внутри должен быть отрицательный заряд. При равенстве полного заряда внутри объема нулю или при отсутствии в нем электрического заряда линии поля пронизывают его насквозь, и полный поток равен нулю.
Эти простые соображения не зависят от того, как электрический заряд распределен внутри объема. Он может находиться в центре объема или вблизи поверхности, ограничивающей объем. В объеме может находиться несколько положительных и отрицательных зарядов, распределенных внутри объема любым способом. Только суммарный заряд определяет полное число входящих или выходящих линий напряженности.
Как видно из (1.4) и (1.5), поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряд q, равен . Если внутри поверхности находится n зарядов, то, согласно принципу суперпозиции полей, полный поток будет складываться из потоков напряженностей полей всех зарядов и будет равен , где под в этом случае подразумевается алгебраическая сумма всех зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью.
Теорема Гаусса. Гаусс первым обнаружил тот простой факт, что поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность должен быть связан с полным зарядом, находящимся внутри этого объема.
Потенциальная энергия жесткого диполя
Рассмотрим так называемый жесткий диполь -- это диполь, у которого расстояние между зарядами не изменяется ($l=const$). Определим, какова потенциальная энергия, которую имеет диполь во внешнем электростатическом поле. Если заряд $q$, который находится в точке поля с потенциалом $\varphi $, имеет потенциальную энергию равную:
то энергия диполя равна:
где ${\varphi }_+;{\varphi }_-$ - потенциалы внешнего поля в точках нахождения зарядов $q$ и $-q$. Потенциал электростатического поля убывает линейно, если поле однородно в направлении вектора напряженности поля. Направим ось X вдоль поля (рис.1). Тогда получим:
Из рис. 1 видим, что изменение потенциала от ${\varphi }_+до\ {\varphi }_-$происходит на отрезке $\triangle x=lcos \vartheta$, поэтому:
Электрический момент диполя
Подставим (4) в (2), получим:
где $\overrightarrow{p}$=$q\overrightarrow{l}$ -- электрический момент диполя. Уравнение (6) не учитывает энергию взаимодействия зарядов диполя. Формула (6) получена при условии, что поле однородно, однако, она справедлива и для неоднородного поля.
Пример 1
Задание: Рассмотрите диполь, который находится в неоднородном поле, которое симметрично относительно оси X. Объясните, как поведет себя диполь в таком поле с точки зрения действующих на него сил.
Пусть центр диполя лежит на оси X (рис.2). Угол между плечом диполя и осью X равен $\vartheta \ne \frac{\pi }{2}$. В нашем случае силы $F_1\ne F_2$.На диполь будет действовать вращательный момент и
сила, которая стремится переместить диполь по оси X. Чтобы найти модуль этой силы используем формулы:
В соответствии с уравнением для потенциальной энергии диполя имеем:
считаем, что $\vartheta=const$
Для точек оси X имеем:
\ \
При $\vartheta 0$, значит, диполь втягивается в область более сильного поля. При $\vartheta >\frac{\pi }{2}$ $F_x
Заметим, что если $-\frac{\partial W}{\partial x}=F_x$, производная от потенциальной энергии дает проекцию силы на соответствующую ось, то производная $-\frac{\partial W}{\partial \vartheta}=M_\vartheta$ дает проекцию вращательного момента на ось $?$:
\[-\frac{\partial W}{\partial \vartheta}=M_\vartheta=-pEsin \vartheta (1.4.)\]
В формуле (1.4) минус означает, что момент стремится уменьшить угол меду электрическим моментом диполя и вектором напряженности поля. Диполь в электрическом поле стремится повернуться так, чтобы электрический момент диполя, был параллельно полю ($\overrightarrow{p}\uparrow \uparrow \overrightarrow{E}$). При $\overrightarrow{p}\uparrow \downarrow \overrightarrow{E}$ вращающий момент тоже будет равен нулю, но такое равновесие не устойчиво.
Пример 2
Задание: Два диполя находятся на расстоянии $r$ друг от друга. Их оси лежат на одной прямой. Электрические моменты равны соответственно: $p_1$ и $p_2$. Вычислите потенциальную энергию любого из диполей, которая будет соответствовать положению устойчивого равновесия.
Система будет находиться в состоянии равновесия, когда диполи ориентированы, как показано на рис. 3, вдоль поля, противоположными по знаку зарядами друг к другу.
Будем считать, что поле создаёт диполь с моментом $p_1$, будем искать потенциальную энергию диполя, который обладает электрическим моментом $p_2$ в точке поля (A) на расстоянии r от первого диполя. Примем, что плечи диполя малы по сравнению с расстоянием между диполями ($l\ll r$). Диполи можно будет принять за точечные (так считаем, что диполь с моментом $p_2\ находится\ в\ точке\ А$). Напряжённость поля, которое создает диполь на его оси в точке А по модулю равна (при $\varepsilon =1$):
Потенциальная энергия диполя с моментом $p_2$ в точке А может быть выражена формулой:
где мы учли, что векторы напряженности и электрического момента диполя сонаправлены в состоянии устойчивого равновесия. В таком случае потенциальная энергия второго диполя будет равна:
Ответ: Потенциальные энергии диполей будут равны по величине $W=-p_2\frac{p_1}{2\pi {\varepsilon }_0r^3}$.
А. Б.
Рыбаков
,
, Военно-космический кадетский корпус, г. Санкт-Петербург
Диполь в поле и поле диполя
Основные вопросы электростатики: Какое поле создаёт данное распределение зарядов и какая сила действует на эти заряды во внешнем поле? Относительно точечного заряда эти вопросы решаются известными всем формулами школьного курса. Следующий важный и простой объект электростатики – это, конечно, диполь. Диполь – это два разноимённых, равных по величине точечных заряда, расположенных на фиксированном расстоянии l друг от друга. Диполь характеризуется дипольным моментом p = qL (1)где l – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.
Интерес к диполю связан, в частности, с тем, что молекулы многих веществ обладают дипольным моментом, а кроме того, молекулы всех веществ приобретают дипольный момент во внешнем электрическом поле. И макроскопические тела (как проводящие, так и не проводящие ток) во внешнем поле поляризуются, т.е. приобретают дипольный момент. Важнейшие приложения представленных здесь результатов – это поля в диэлектрике.
Поставим самые напрашивающиеся вопросы в заявленной теме и попытаемся их разрешить. Никакой особой математики, выходящей за рамки школьного курса, нам не понадобится.
Производную от функции Ф(х) будем обозначать dФ/dх. Для удобства записи некоторых результатов мы будем использовать скалярное произведение векторов.
Напомним, что a · b = a · b · cos α, где α – угол между векторами. Размерную константу в законе Кулона мы обозначаем
Диполь в поле
(простые задачи)
1
. Какие
силы действуют на диполь в однородном электрическом поле?
Пусть диполь p
находится в поле напряжённостью E
,
пусть вектор дипольного момента составляет угол α с вектором
напряжённости поля. Легко видеть, что на диполь в этом случае действует
пара сил с моментом
М = qElsin α = pEsin α
, которая стремится
ориентировать диполь вдоль силовых линий поля. Так что если диполь
может вращаться, то он сориентируется указанным образом. Заметим, что у
диполя есть и другое положение равновесия, когда он сориентирован
противоположным образом, но это положение неустойчиво.
2
. Какова
энергия диполя в однородном поле?
Как
всегда, в задачах, где речь идёт о потенциальной энергии, надо сначала
условиться, откуда мы будем эту энергию отсчитывать. Пусть мы
отсчитываем её от указанного выше равновесного положения. Тогда энергия
– это работа, которую совершат силы поля при вращении диполя вокруг
своего центра от исходного положения, характеризуемого углом α (см.
рис. к п. 1), до равновесного. Напомним, что работа связана
только с перемещением заряда вдоль направления E
.
Заряды диполя при таком вращении сместятся вдоль линий поля (в разные
стороны) на l (1– cos α)/2. Поэтому искомая энергия W
= qEl
(1 –
cos α) = pE
(1
– cos α).
Но чаще в учебниках по электричеству предпочитают в этой задаче
полагать, что W = 0 в том положении диполя, когда вектор p
перпендикулярен E
.
В этом случае
W
= –qEl
cos α = –pE
.
Высказанное
в конце п. 1 утверждение можно теперь сформулировать и иначе: диполь
стремится занять теперь положение с минимальной энергией. Так,
дипольные молекулы диэлектрика во внешнем поле стремятся все
сориентироваться указанным образом (а тепловое движение мешает им в
этом). 
3
.
Теперь пусть диполь, сориентированный вдоль линий поля,
находится
в неоднородном поле. Тогда, как легко видеть, на него вдоль линий поля
действует сила, направленная в сторону увеличения величины
поля:
(индексы
«+» и «–» помечают тот заряд диполя, к которому относится
соответствующая физическая величина). Именно эта сила объясняет самый
простой опыт, в котором заряженное тело (независимо от знака заряда)
притягивает мелкие кусочки бумаги.
Поле диполя
4
.
Прежде чем заняться расчётом поля диполя, остановимся на общих
моментах. Пусть, например, нас интересует гравитационное поле какого-то
астероида неправильной формы. Поле в непосредственной близости от
астероида можно получить только путём компьютерного расчёта. Но, чем
дальше мы отходим от астероида, тем с большей точностью мы можем
рассматривать его как материальную точку (поле которой мы знаем). При
стремлении к большей математической строгости надо было сказать, что мы
знаем асимптотическое поведение поля при
С похожей ситуацией мы сталкиваемся и в электростатическом поле. Электростатическое поле по
своим свойствам очень похоже на гравитационное (потому что аналогичны
фундаментальные законы: закон Кулона и закон всемирного тяготения), но,
если так можно сказать, «богаче» его. Ведь электрические заряды могут
быть двух типов, между ними возможно и притяжение, и отталкивание, а
между «гравитационными зарядами» (т.е. массами) возможно
только
притяжение.
Будем считать, что в какой-то ограниченной области
распределены положительные и отрицательные точечные заряды q 1 ,
q 2 , … ,
q n . Полный заряд системы
(2)
Мы
уже понимаем, что при Q ≠ 0 поле при больших r переходит в поле
точечного заряда Q. Но возникает очень важный для нас вопрос: каким
будет поле на больших расстояниях, если полный заряд
Q = 0?
Самое простое распределение точечных зарядов с Q = 0 – это и есть
диполь. Вот почему изучение поля диполя несёт в себе важные
принципиальные моменты.
Итак, нас будут в основном интересовать
такие ситуации, когда все характерные размеры r весьма велики по
сравнению с расстоянием l
между зарядами диполя. Эту ситуацию можно
описать двояко. Во-первых, мы можем всегда иметь в виду, что заряды
расположены на конечном расстоянии l
друг от друга, и интересоваться
поведением полученных решений при Но можно и п росто
говорить о точечном диполе с определённым дипольным моментом p
, тогда все наши
результаты справедливы при любом r > 0 (две эти точки зрения,
конечно, эквивалентны).
Мы
будем использовать известные всем формулы для полей точечных зарядов и
в полученных выражениях учитывать, что l
мало.
Поэтому напомним формулы
приближённых вычислений: если , то 
Везде
в выкладках знак «≈» будет указывать на то, что мы воспользовались
этими формулами в случае малого параметра (малый параметр в
рассматриваемых задачах – это l/r).
5
.
Качественная картинка силовых линий поля диполя хорошо известна,
приводится во многих учебниках, и мы не будем её здесь приводить. Хотя
и расчёт поля в произвольной точке несложен, мы всё же ограничимся
расчётом потенциала и напряжённости вдоль двух выделенных направлений.
Совместим начало системы координат с центром диполя, ось х направим
вдоль вектора p
, а ось Y – перпендикулярно (при этом заряды
диполя отстоят от начала координат на расстояние ).
Будем
считать, что в бесконечно удалённой точке
6.
Рассчитаем напряжённость поля диполя на оси Y.
По принципу суперпозиции, E
= E + + E –
,
где E +
и E –
– векторы напряжённости полей отдельных зарядов. Из подобия
треугольников: 
что можно записать как 
Теперь
скажем о ходе потенциала вдоль оси Y. Поскольку в любой точке оси Y
вектор E
перпендикулярен оси, то при перемещении какого-то заряда вдоль
этой оси поле диполя никакой работы не совершает, и следовательно, в
любой точке этой оси
7
.
Вычислим потенциал j поля в произвольной точке оси х. По принципу
суперпозиции, он равен сумме потенциалов и
созданных
положительным и отрицательным
зарядами.
Пусть х > 0, тогда:
(3)
(выражение для (х) для
х < 0 будет c другим знаком). 
Из
симметрии задачи ясно, что на оси х вектор напряжённости поля E
имеет только
составляющую Е х. Её можно вычислить, исходя из
известной формулы, связывающей напряжённость поля и потенциал: 
(4)
но в школьном курсе формулу (4) обычно обходят стороной, поэтому
вычислим Ех непосредственно: или 
Итак, при удалении от диполя по оси х или по оси y поле спадает как r –3
.
Можно доказать, что так же ведёт себя поле по любому направлению.
Выражение для потенциала в произвольной точке приведём без
вывода: 
(т.е. при удалении
По любому направлению, кроме оси Y, потенциал спадает как r –2
).
Убедитесь, что в частных случаях эта формула приводит к уже известным
нам результатам.
8. Отступление.
Вспомним, что у бесконечной равномерно заряженной плоскости
напряжённость поля не зависит от расстояния от плоскости (или, если
угодно, спадает как r 0
). У точечного заряда –
убывает как r –2
. У диполя, как мы выяснили,
убывает на бесконечности как r –3 . Попробуйте
догадаться, у какого распределения зарядов напряжённость поля
убывает как r –1 ; r –4
.
Взаимодействие диполя с
другими зарядами
9.
Теперь рассмотрим взаимодействие диполя и точечного заряда q′ (пусть q′
> 0). Рисунок в значительной степени повторяет рисунок в п.
5.
Там мы рассчитали напряжённость поля диполя и, следовательно, уже
знаем, какая сила действует на точечный заряд. Заметим, что
это
взаимодействие являет нам простейший пример нецентральных сил
(вспомните, где в школьном курсе встречаются нецентральные силы между
частицами).
Но ещё остались вопросы: какая сила действует на диполь?
где она приложена? Можно ответить на эти вопросы сразу, без раздумий.
Искомая сила F
,
по третьему закону Ньютона, должна быть равна – F ′
и
должна быть приложена на одной прямой с F ′
.
Быть может, кого-то удивит, что равнодействующая двух сил, действующих
на заряды +q и –q диполя,
оказалась приложена
где-то в стороне от диполя. Что это значит? Ничего не значит. А что
значит, что равнодействующая сил тяжести, действующих на бублик,
приложена в центре дырки? Равнодействующая двух сил никакого особого
смысла не имеет, она просто во всех отношениях заменяет несколько (или
даже бесчисленное множество) сил в фундаментальных уравнениях механики.
(Объективности ради отметим, что есть весьма известные авторы, для
которых такая точка зрения неприемлема. Они предпочитают говорить, что
на диполь со стороны точечного заряда действует сила, приложенная к
самому диполю, и ещё момент сил).
10
. Найдите
силу и энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р 1
и р 2
лежат на одной прямой. Расстояние между диполями x.
Сосчитаем суммарную энергию зарядов второго диполя в поле первого (см.
п. 7):
Ясно,
что диполи, обращённые друг к другу разноимёнными полюсами (как на
рисунке), притягиваются (этому соответствует знак «–» в выражении для
W), при перевороте одного из диполей энергия сменит знак.
Не будем
больше воспроизводить довольно однообразные выкладки и сразу выпишем
выражение для величины силы взаимодействия этих диполей
(проверьте!): 
11.
Найдите
энергию взаимодействия двух диполей, у которых р
1 лежит на прямой,
соединяющей диполи, а р
2
перпендикулярен к ней. Расстояние между диполями x. (Проверьте себя –
ответ очевиден.)
12
. Найдите
энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р
1 и р
2 параллельны друг
другу и оба перпендикулярны оси х,
на которой расположены диполи.
Дополнительные
замечания
13.
Итак, диполь являет нам простейший пример системы зарядов с полным
зарядом Q = 0. Как мы видели, потенциал поля диполя на больших
расстояниях от него убывает как r –2 . Нельзя ли обобщить этот результат
на более общий случай?
Можно обобщить понятие дипольного момента
так, чтобы оно характеризовало любое распределение зарядов. В
частности, для системы n точечных зарядов дипольный момент определяют
так: 
.
(5)
Легко видеть, что эта величина
аддитивна. Можно доказать, что Р
при Q = 0 не зависит от выбора начала отсчёта. Убедитесь, что в частном
случае эта формула переходит в (1).
Сосчитайте дипольный момент Р
ряда простых распределений зарядов (во всех случаях расстояние между
ближайшими зарядами l
).
Можно
было бы вести речь и о непрерывных распределениях зарядов, но тогда
вместо сумм в (2) и (5) пришлось бы писать интегралы по объёму.
Полученные
выше результаты подсказывают нам, в чём значение дипольного момента. И
действительно, можно в общем случае доказать, что чем дальше
мы
отойдём от произвольной системы зарядов с полным зарядом Q =
0 и
дипольным моментом Р
≠ 0, тем её поле будет ближе к рассмотренному нами полю элементарного
диполя с дипольным моментом Р
.
Можно
было бы пойти по этому пути дальше и рассмотреть поле системы зарядов с
Q = 0 и P = 0. Один из самых простых примеров такой системы представлен
на рис. а – это так называемый квадруполь. Потенциал поля квадруполя
убывает на бесконечности как r –3 .
Ряд
«точечный заряд – диполь – квадруполь...» можно продолжать и далее.
Общее название таких объектов мультиполь. Но мы на этом остановимся. 
14.
При помещении атома в электрическое поле силы, приложенные к ядру и к
электронной оболочке, направлены в разные стороны. Под действием этих
сил атом приобретает дипольный момент
Р
, совпадающий по направлению с направлением напряжённости
внешнего поля Е
0 .
Конечно,
молекулы тоже приобретают во внешнем поле дипольный момент (но для них,
вообще говоря, несправедливо предыдущее утверждение о
направлении
вектора Р
).
Но многие
молекулы имеют дипольные моменты и в отсутствие внешнего поля. Причём
эти собственные дипольные моменты обычно намного превышают наведённые
моменты (если говорить об обычных, достижимых в лаборатории полях). Для
множества процессов в природе (в частности, для существования жизни)
чрезвычайно важно, что у молекулы воды есть дипольный момент.
«Трудно вообразить, на что был бы похож мир, если бы атомы в
молекуле Н 2 О были расположены по прямой линии,
как в молекуле СО 2 ; вероятно, наблюдать это было
бы некому» (Э.Парселл
.
Электричество и магнетизм. – М., 1975).
Ответы
К п. 8
.
Система зарядов, у которой напряжённость поля убывает на бесконечности
как r –1 , –
это бесконечная равномерно заряженная нить.
К п. 11
.
При перемещении первого диполя вдоль оси х на его заряды действуют со
стороны второго диполя силы, перпендикулярные этой оси, т.е. никакая
работа при этом не совершается, значит, W = 0.
К п. 12
.
Для упрощения расчёта надо удачно выбрать способ перевода одного из
диполей из бесконечности в интересующее нас состояние. Удобно сначала
перемещать его вдоль оси х, ориентировав его вектор дипольного момента
вдоль оси (при этом работа сил взаимодействия диполей равна нулю), а
потом повернуть его на 90°. При повороте второго диполя внешние силы
должны совершить работу (см. п. 2) . 
Это и есть энергия
взаимодействия диполей.
К п. 13
.
Дипольные моменты равны: а) 0
; б) 2qlj
;
в) 0; г) –3qli
(здесь
i
и j
– единичные векторы в направлениях осей X
и Y
соответственно).
Петлевые вибраторы серии "D" (наиболее близкий зарубежный аналог ANT150D фирмы Telewave) выполнены в разборном виде из трёх частей - собственно петлевого вибратора (1), траверсы (2) и крепежного узла (3) (см. рисунок).
Петлевой вибратор изготовлен из толстостенной алюминиевой трубы и имеет длину около?/2. Узел крепления (4) к траверсе приварен с помощью аргонно-дуговой сварки, что гарантирует надежный электрический контакт в пучности тока. Для согласования с 50-омным кабелем применяется 1/4-волновой трансформатор, благодаря проложенной линии питания внутри диполя происходит симметрирование антенны.
Все контакты пропаяны, а винтовые соединения закрашены. Весь узел питания загерметизирован: для придания жесткости используется ПВХ трубка, а для герметизации - термоусадочная трубка совместно с молекулярным клеем-герметиком (5). Вся антенна защищена от воздействия агрессивных сред полимерным покрытием. Траверса антенны - труба диаметром 35 мм тщательно подогнана под диполь для облегчения монтажа антенны. Узел крепления к мачте - силуминовый литой. Дополнительная обработка также обеспечивает надежность стыковки с траверсой и легкое крепление к мачте диаметром 38-65 мм под любым углом. Антенна имеет метку (6) для правильной фазировки, а также дренажное отверстие (7) внизу вибратора.
В антенне применяется отечественный кабель (8) РК 50-7-11 с невысокими потерями (0,09 dB/м на 150 МГц). Антенны снабжены разъемами (9) N-типа, которые тщательно пропаяны и загерметизированы.
Удобная картонная упаковка позволяет транспортировать антенну любым видом транспорта.
Петлевые диполи серии "DP" имеют некоторые конструктивные отличия от диполей серии "D".
Во-первых, эта антенна имеет неразборную конструкцию - сам диполь (10) приварен к короткой траверсе (11). Питание диполя несимметричное, что, однако, нисколько не ухудшает его характеристик. Из-за близкого расположения к мачте - рефлектору полоса несколько уже и составляет 150-170 МГц, а уровень излучения назад ниже на 10 dB. Зато в главном направлении получается выигрыш в 3 dBd.
Во-вторых, крепление к мачте производится облегченными стальными оцинкованными хомутами (12) и позволяет крепить антенну к мачте (13) диаметром 25-60 мм. Во всем остальном по технологии изготовления антенны серии "DP" не отличаются от диполей серии "D".
Диполи серии "DH" - наиболее дешевые антенны. Они представляют собой конструктор "сделай сам", где в течение нескольких минут, пользуясь нашей инструкцией, Вы соберете классический линейный заземленный вибратор с гамма-согласованием. В комплект входит собственно сам излучатель - штырь диаметром 12 мм (14), траверса (15) с отверстием под крепление и приваренным кронштейном с разъемом (16).
Детали гамма-согласователя позволяют настроить диполь практически идеально на любой выбранной Вами частоте (с применением обычного рефлектометра).
Каждый диполь снабжен подробной инструкцией по настройке и графиками длин вибратора.
В руках мастера этот набор превратится в настоящую связную высокоэффективную антенную систему!