Преобразование Фурье представляет собой наиболее широко используемое средство преобразовать произвольную функцию от времени в набор ее частотных составляющих на плоскости комплексных чисел. Это преобразование может быть применено для апериодических функций для определения их спектров, и в этом случае комплексный оператор s может быть заменен на/со:
С целью определения наиболее интересных частот может быть использовано численное интегрирование на комплексной плоскости.
Для ознакомления с основами поведения этих интегралов рассмотрим несколько примеров. На Рис. 14.6 (слева) приведен импульс единичной площади во временной области и его спектральный состав; в центре - импульс такой же площади, но большей амплитуды, а справа - амплитуда импульса бесконечна, однако его площадь по-прежнему равна единице. Правая картинка особенно интересна тем, что спектр импульса с нулевой шириной содержит все частоты с равными амплитудами.
Рис. 14.6. Спектры импулъсовразной ширины, по одинаковой пяошрди
В 1822 г. французский математикЖ. Б. Ж. Фурье (J. B.J. Fourier) показал в своей работе, посвященной вопросам теплопроводности, что любая периодическая функция может быть разложена на исходные компоненты, включающие частоту повторения и набор гармоник этой частоты, причем каждая из гармоник имеет свою амплитуду и фазу по отношению к частоте повторения. Основные формулы, используемые при Фурье-преобразовании,таковы:
где A() представляет собой компоненту постоянного тока, а А п и В п - гармоники основной частоты порядка и, находящиеся соответственно в фазе и противофазе с ней. Функция/(*), таким образом, является суммой этих гармоник и Ло-
В случаях, когда f{x) симметрична относительно тс/2, т. e. f{x) на области от л до 2л = -f{x) на области от 0 до л, и отсутствует компонента постоянного тока, формулы Фурье-преобразования упрощаются до:
где n = 1, 3,5, 7…
Все гармоники являются синусоидами, только часть из них находится в фазе, а часть - в противофазе с основной частотой. Большинство форм сигналов, встречающихся в силовой электронике, могут быть разложены на гармоники этим манером.
Если преобразование Фурье применить к прямоугольным импульсам длительностью 120°, то гармоники будут составлять набор порядка k = би ± 1, где n - одно из целых чисел. Амплитуда каждой гармоники h по отношению к первой связана с ее номером соотношением h = l//e. При этом первая гармоника будет иметь амплитуду, в 1.1 раза большую, чем амплитуда прямоугольного сигнала.
Преобразование Фурье выдает амплитудное значение для каждой гармоники, но, так как все они являются синусоидальными, среднеквадратичное значение получится просто делением соответствующей амплитуды на корень из 2. Среднеквадратичное значение сложного сигнала представляет собой корень квадратный из суммы квадратов среднеквадратичных значений каждой гармоники, включая первую.
При работе с повторяющимися импульсными функциями полезно рассмотреть рабочий цикл. Если повторяющиеся импульсы на Рис. 14.7 имеют среднеквадратичное значение X за время А, то среднеквадратичное значение за время В будет равно X(A/B) 1 ‘ 2 . Таким образом, среднеквадратичное значение повторяющихся импульсов пропорционально корню квадратному из значения рабочего цикла. Применив этот принцип к прямоугольным импульсамдлительностью 120° (рабочий цикл 2/3) с единичной амплитудой, получим среднеквадратичное значение (2/3) 1/2 = 0.8165.
Рис. 14.7. Определение среднеквадратичного значения (RMS) для повторяющихся
импульсов
Интересно проверить этот результат путем суммирования гармоник, соответствующих упомянутой последовательности прямоугольных импульсов. В Табл. 14.2 приведены результаты этого суммирования. Как видно, все совпадает.
Таблица 14.2. Результаты суммирования гармоник, соответствующих
периодическому сигналу с рабочим циклом 2/3 и единичной амплитудой
|
Номер гармоники |
Амплитуда гармоники |
Суммарное среднеквадратичное значение |
Для целей сравнения можно сгруппировать любой набор гармоник и определить соответствующий общий уровень гармонических искажений. Среднеквадратичное значение сигнала при этом определяется по формуле
где h\ - амплитуда первой (основной) гармоники, а h„ - амплитуда гармоник порядка n > 1.
Компоненты, ответственные за искажения, могут быть записаны отдельно как
где n > 1. Тогда
где Fund - первая гармоника, а коэффициент нелинейньа искажений {THD) получится равным D/Fund.
Хотя анализ прямоугольной последовательности импульсов весьма интересен, он редко применяется в реальном мире. Коммутационные эффекты и другие процессы делают прямоугольные импульсы больше похожими на трапецеидальные, или, в случае с преобразователями, с передним фронтом, описываемым выражением 1 cos(0) и задним фронтом, описываемым зависимостью cos(0), где 0 < 0 логарифмическим масштабом наклон соответствующих участков этого графика составляет -2 и -1.Для систем с типовыми значениями реактанса изменение наклона примерно приходится на частоты от 11-й до 35-й гармоники сетевой частоты, причем при увеличении реактанса или тока в системе частота изменения наклона снижается. Практический результат от всего этого состоит в меньшей значимости высших гармоник, чем можно подумать. Хотя увеличение реактанса способствует уменьшению гармоник высших порядков, обычно это не выполнимо. Более предпочтительным для уменьшения гармонических составляющих в потребляемом токе является увеличение числа импульсов при выпрямлении или преобразовании напряжения, достигаемое сдвигом фаз. Применительно к трансформаторам эта тема была затронута в гл. 7. Если тиристорный преобразователь или выпрямитель питается от обмоток трансформатора, соединенных звездой и треугольником, а выходы преобразователя или выпрямителя соединены последовательно или параллельно, то получается 12-пульсационное выпрямление. Номера гармоник в наборе теперь получаются k = \2n ± 1 взамен k = 6и + 1, где n - одно из целых чисел. Взамен гармоник 5-го и 7-го порядкатеперь появляются гармоники 11-го и 13-го порядков, амплитуда которых существенно меньше. Вполне возможно применение еще большего числа пульсаций, и, например, в больших источниках питания для электрохимических установок используются 48-пульсационные системы. Так как в больших выпрямителях и преобразователях используются наборы соединенных параллельно диодов или тиристоров, дополнительная стоимость фазосдвигающих обмоток в трансформаторе в основном определяет и его цену. На Рис. 14.8 показаны преимущества 12-пульсационной схемы перед 6-пульсационной. Гармоники 11-го и 13-го порядка в 12-пульсационной схеме имеют типовое значение амплитуды, равное примерно 10% от первой гармоники. В схемах с большим числом пульсаций гармоники имеют порядок k = pn + 1, где p - число пульсаций. Для интереса отметим, что пары наборов гармоник, которые просто сдвинуты друг относительно друга на 30°, не взаимоуничтожаются в 6пульсационной схеме. Токи этих гармоник проникают назад через трансформатор; таким образом, требуется дополнительный сдвиг фаз для получения возможности их взаимного уничтожения. Не все гармоники находятся в фазе с первой. Например, в трехфазном наборе гармоник, соответствующем последовательности прямоугольных импульсов 120°, фазы гармоник меняются в соответствии с последовательностью -5-я, +7-я, -11-я, +13-я и т.д. При разбалансировке в трехфазной цепи могут возникать однофазные компоненты, что влечет за собой утраивание гармоник с нулевым фазовым сдвигом. Рис. 14.8. Спектры 6и 12-пульсациоиных преобразователей Изолирующие трансформаторы часто рассматриваются как панацея от проблем с гармониками. Эти трансформаторы добавляют некоторый реактанс в систему и тем самым способствуют снижению уровня высших гармоник, однако, кроме подавления токов нулевой последовательности и электростатической развязки, проку от них немного. Разложение периодических несинусоидальных функций
Общие определения
Часть 1. Теория линейных цепей (продолжение)
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Учебное пособие для студентов электроэнергетических специальностей Т. Электрические цепи периодического несинусоидального тока Как известно, в электроэнергетике в качестве стандартной формы для токов и напряжений принята синусоидальная форма. Однако в реальных условиях формы кривых токов и напряжений могут в той или иной мере отличаться от синусоидальных. Искажения форм кривых этих функций у приемников приводят к дополнительным потерям энергии и снижению их коэффициента полезного действия. Синусоидальность формы кривой напряжения генератора является одним из показателей качества электрической энергии как товара. Возможны следующие причины искажения формы кривых токов и напряжений в сложной цепи: 1) наличие в электрической цепи нелинейных элементов, параметры которых зависят от мгновенных значений тока и напряжения [R, L, C=f
(u,i
)], (например, выпрямительные устройства, электросварочные агрегаты и т. д.); 2) наличие в электрической цепи параметрических элементов, параметры которых изменяются во времени[R, L, C=f
(t
)]; 3) источник электрической энергии (трехфазный генератор) в силу конструктивных особенностей не может обеспечить идеальную синусоидальную форму выходного напряжения; 4) влияние в комплексе перечисленных выше факторов. Нелинейные и параметрические цепи рассматриваются в отдельных главах курса ТОЭ. В настоящей главе исследуется поведение линейных электрических цепей при воздействии на них источников энергии с несинусоидальной формой кривой. Из курса математики известно, что любая периодическая функция времени f
(t
), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена гармоническим рядом Фурье: Здесь А
0 – постоянная составляющая, - k
-я гармоническая составляющая или сокращенно k
-я гармоника. 1-я гармоника называется основной, а все последующие - высшими. Амплитуды отдельных гармоник А к
не зависят от способа разложения функции f
(t
) в ряд Фурье, в то же время начальные фазы отдельных гармоник зависят от выбора начала отсчета времени (начала координат). Отдельные гармоники ряда Фурье можно представить в виде суммы синусной и косинусной составляющих: Тогда весь ряд Фурье получит вид: Соотношения между коэффициентами двух форм ряда Фурье имеют вид: Если k
-ю гармонику и ее синусную и косинусную составляющие заменить комплексными числами, то соотношение между коэффициентами ряда Фурье можно представить в комплексной форме: Если периодическая несинусоидальная функция времени задана (или может быть выражена) аналитически в виде математического уравнения, то коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам, известным из курса математики: На практике исследуемая несинусоидальная функция f
(t
) обычно задается в виде графической диаграммы (графически) (рис. 118) или в виде таблицы координат точек (таблично) в интервале одного периода (табл. 1). Чтобы выполнить гармонический анализ такой функции по приведенным выше уравнениям, ее необходимо предварительно заменить математическим выражением. Замена функции, заданной графически или таблично математическим уравнением, получила название аппроксимации функции. Практически любую периодическую функцию можно разложить на простые гармоники с помощью тригонометрического ряда (ряда Фурье): f
(x
) = + (a n
cos nx
+ b n
sin nx
), (*) Запишем данный ряд в виде суммы простых гармоник, полагая коэффициенты равными a n
= A n
sinj n
, b n
= A n
cosj n
. Получим: a n
cosj n
+ b n
sinj n
= A n
sin(nx
+ j n
), где A n
= , tg j n
= . (**) Тогда ряд (*) в виде простых гармоник примет вид f
(x
) = Ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой хотя и бесконечного числа синусоид, но с частотами, имеющими определенное дискретное значение. Иногда n
-ую гармонику записывают в виде a n
cos nx
+ b n
sin nx
= A n
cos(nx
– j n
) , где a n
= A n
cosj n
, b n
= A n
sinj n
. При этом A n
и j n
определяются по формулам (**). Тогда ряд (*) примет вид f
(x
) = Определение 9
. Операция представления периодической функции f
(x
) рядом Фурье называется гармоническим анализом
. Выражение (*) встречается и в другой, более употребительной форме: Коэффициенты a n
, b n
определяются по формулам: величина C
0 выражает среднее значение функции за период и называется постоянной составляющей, которая вычисляется по формуле: В теории колебаний и спектрального анализа представление функции f
(t
) в ряд Фурье записывается в виде: т.е. периодическая функция представлена суммой слагаемых, каждое из которых есть синусоидальное колебание с амплитудой С n
и начальной фазой j n
, то есть ряд Фурье периодической функции состоит из отдельных гармоник с частотами, отличающимися друг от друга на постоянное число. Причем каждая гармоника имеет определенную амплитуду. Значения С n
и j n
должны быть надлежащим образом подобраны для того, чтобы равенство (***) выполнялось, то есть определяются по формулам (**) [С n
= А n
]. Перепишем ряд Фурье (***) в виде Определение 10
. Совокупность величин С n
, то есть зависимость амплитуды от частоты, называется амплитудным спектром функции
или спектром амплитуд
. Определение 11.
Совокупность величин j n
носит название спектра фаз
. Когда говорят просто “спектр”, то подразумевают именно амплитудный спектр, в остальных случаях делают соответствующие оговорки. Периодическая функция имеет дискретный спектр
(то есть она может быть представлена в виде отдельных гармоник). Спектр периодической функции можно изобразить графически. Выберем для этого координаты С n
и w
= nw
1 . Спектр будет изображен в этой системе координат совокупностью дискретных точек, т.к. каждому значению nw
1 соответствует одно определенное значение С n .
График, состоящий из отдельных точек, неудобен. Поэтому принято изображать амплитуды отдельных гармоник вертикальными отрезками соответствующей длины (рис. 2). Этот дискретный спектр часто называют линейчатым. Он - гармонический спектр, т.е. состоит из равноотстоящих спектральных линий; частоты гармоник находятся в простых кратных соотношениях. Отдельные гармоники, в том числе первая, могут отсутствовать, т.е. амплитуды их могут равняться нулю, но это не нарушает гармоничности спектра. Дискретные, или линейчатые, спектры могут принадлежать как периодическим, так и непериодическим функциям. В первом случае спектр обязательно гармонический. Разложение в ряд Фурье может быть обобщено на случай непериодической функции. Для этого надо применить предельный переход при Т®∞, рассматривая непериодическую функцию как предельный случай периодической при неограниченно возрастающем периоде. Вместо 1/Т
введем круговую основную частоту w
1 = 2p/Т
. Эта величина – есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны 2pn
/Т
. Если Т
® ∞, то w
1 ® dw
и 2pn
/Т
® w
, где w
– текущая частота, изменяющаяся непрерывно, dw
– ее приращение. При этом ряд Фурье перейдет в интеграл Фурье, который представляет собой разложение непериодической функции в бесконечном интервале (–∞;∞) на гармонические колебания, частоты которых w
непрерывно меняются от 0 до ∞: Непериодическая функция имеет непрерывный или сплошной спектры, т.е. вместо отдельных точек спектр изображается непрерывной кривой. Это получается в результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье: интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, линии сливаются, и вместо дискретных точек спектр изображается непрерывной последовательностью точек, т.е. непрерывной кривой. Функции a
(w
) и b
(w
) дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты w
. 2.1. Спектры
периодических сигналов
Периодическим сигналом (током или
напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется
через некоторый интервал времени T
,
который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является
гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой,
периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими
или
несинусоидальными
. Можно показать, и практика это доказывает, что, если
входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные
токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими.
При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.
Существует общая методика исследования
периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в
электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная
методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е.
синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая
сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого
несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u
на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное
равенство: Для рассматриваемого
примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического
сигнала
T
1
=
T
,
а период второй гармоники в два раза меньшим
T
2
=
T
/2,
т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:
Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй
гармоники
негармонического сигнала
В электротехнике гармоническая
составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется
первой
или основной
гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются
высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше
первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется
k - ой гармоникой.
Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой
гармоникой. В общем случае ряд
Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих
разных частот:
(2.1)
где k - номер
гармоники; - угловая частота k -
ой гармоники;
ω
1
=
ω
=2
π
/
T
-
угловая частота первой гармоники; - нулевая гармоника.
Для сигналов часто встречающихся форм
разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2
приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить,
что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы
координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала
отсчета времени t
будут изменяться
начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В
зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину,
измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в
амперах, если это сигнал тока.
Разложение
в ряд Фурье периодических функций
Таблица
2
График
f
(t
)
Ряд Фурье функции
f
(t
)
Примечание
k=1,3,5,...
k=1,3,5,...
k=1,3,5,...
k=1,2,3,4,5
k=1,3,5,...
k=1,2,3,4,5
S=1,2,3,4,..
k=1,2,4,6,..
Сигналы 7 и 8 формируются из синусоиды
посредством схем, использующих вентильные элементы.
Совокупность гармонических составляющих,
образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого
негармонического сигнала. Из этого набора гармоник выделяют и различают амплитудный
и фазовый
спектр. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех
гармоник, который обычно представляют диаграммой в виде набора вертикальных
линий, длины которых пропорциональны (в выбранном масштабе) амплитудным
значениям гармонических составляющих, а место на горизонтальной оси определяется
частотой (номером гармоники) данной составляющей. Аналогично рассматривают
фазовые спектры как совокупность начальных фаз всех гармоник; их также
изображают в масштабе в виде набора вертикальных линий.
Следует заметить, что
начальные фазы в электротехнике принято измерять в пределах от –180 0
до +180 0 . Спектры, состоящие из отдельных линий, называют линейчатыми или дискретными
.
Спектральные линии находятся на расстоянии f
друг от друга, где f
- частотный
интервал, равный частоте первой гармоники f
.Таким образом, дискретные спектры периодических сигналов имеют спектральные
составляющие с кратными частотами - f
,
2f
, 3f
, 4f
, 5f
и т.д.
Пример
2.1.
Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала прямоугольной формы,
когда длительности положительного и отрицательного сигнала равны, а среднее
значение функции за период равно нулю
u
(t
) = Vпри0<t
<T
/2
u
(t
) = -VприT
/2<t
<T
Для сигналов простыхчасто используемых форм решение
целесообразно находить с помощью таблиц.
Рис. 2.2. Линейчатый амплитудный спектр
прямоугольного сигнала
Из разложения в ряд Фурье сигнала
прямоугольной формы (см. табл.2 - 1) следует, что гармонический ряд содержит
только нечетные гармоники, при этом амплитуды гармоник убывают пропорционально
номеру гармоники. Амплитудный линейчатый спектр гармоник представлен на рис.
2.2. При построении принято, что амплитуда первой гармоники (здесь напряжения)
равна одному вольту: B; тогда амплитуда
третьей гармоники будет равна B, пятой - B и т.д. Начальные
фазы всех гармоник сигнала равны нулю, следовательно, фазовый спектр имеет
только нулевые значения ординат.
Задача решена.
Пример 2.2.
Найти амплитудный и фазовый спектр для напряжения, изменяющегося по закону: при -T
/4<t
<T
/4; u
(t
)
= 0 при T
/4<t
<3/4T
. Такой сигнал
формируется из синусоиды посредством исключения (схемным путем с использованием
вентильных элементов) отрицательной части гармонического сигнала.
Рис. 2.3. Линейчатый спектр сигнала
однополупериодного выпрямления: а)амплитудный; б)фазовый
Для сигнала однополупериодного
выпрямления синусоидального напряжения (см. табл.2 - 8) ряд Фурье содержит
постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую гармонику и далее набор
только четных гармоник, амплитуды которых быстро убывают с ростом номера
гармоники. Если, например, положить величину V = 100 B, то, умножив каждое
слагаемое на общий множитель 2V/π , найдем
(2.2)
Амплитудный и фазовый спектры этого
сигнала изображены на рис.2.3а,б.
Задача решена.
В соответствии с теорией рядов Фурье
точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при
бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ
позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью
расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность
сигнала
t
независимо от его формы много меньше периода T
, то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более
полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту
особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6,
при выполнении условия τ
<<T
. Если негармонический
сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то
гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно
ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.
ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА До сих пор мы изучали цепи синусоидального тока, однако закон изменения тока во времени может отличаться от синусоидального. В этом случае имеют место цепи несинусоидального тока. Все несинусоидальные токи делятся на три группы: периодические, т.е. имеющие период Т
(рис.6.1,а), непериодические (рис.6.1,б) и почти периодические, имеющие периодически изменяющуюся огибающую (Т
о) и период следования импульсов (Т
и) (рис.6.1,в). Есть три способа получения несинусоидальных токов: а) в цепи действует несинусоидальная ЭДС; б) в цепи действует синусоидальная ЭДС, но один или несколько элементов цепи являются нелинейными; в) в цепи действует синусоидальная ЭДС, но параметры одного или нескольких элементов цепи периодически изменяются во времени. На практике чаще всего используется способ б). Наибольшее распространение несинусоидальные токи получили в устройствах радиотехники, автоматики, телемеханики и вычислительной техники, где часто встречаются импульсы самой разнообразной формы. Встречаются несинусоидальные токи и в электроэнергетике. Мы будем рассматривать только периодические несинусоидальные напряжения и токи, которые могут быть разложены на гармонические составляющие. f(ωt)=A
o
+ A
o
+ Так как где как следует из векторной диаграммы (рис.6.2) , то получаем Входящие в это выражение слагаемые называются гармониками. Различают четные (k
– четное) и нечетные гармоники. Первую гармонику называют основной, а остальные – высшими. Последняя форма ряда Фурье удобна в том случае, когда требуется знать процентное содержание каждой гармоники. Эта же форма ряда Фурье применяется при расчете цепей несинусоидального тока. Хотя теоретически ряд Фурье содержит бесконечно большое число слагаемых, однако он как правило быстро сходится. а сходящимся рядом можно выразить заданную функцию с любой степенью точности. На практике достаточно взять небольшое число гармоник (3-5) для получения точности расчетов в несколько процентов. f(ωt)=sin(ωt+ψ
1 )+sin(3ωt+ψ
3 )+ 3 f(ωt)=А
о
+ 4 f(ωt)= При наличии какой-либо симметрии в формулах для
и
можно брать интеграл за полпериода, но результат удваивать, т.е. пользоваться выражениями В кривых бывают и несколько видов симметрии одновременно. Для облегчения вопроса о гармонических составляющих в этом случае заполним таблицу Вид симметрии 1. Оси абсцисс f(ωt)=-f(ωt+π)
Только нечетные 2. Оси ординат f(ωt)=f(-ωt)
3. Начала координат f(ωt)=-f(-ωt)
4. Оси абсцисс и оси ординат f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)
Нечетные 5. Оси абсцисс и начала координат f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)
Нечетные Когда несинусоидальная кривая задана графиком или таблицей и не имеет аналитического выражения, для определения её гармоник прибегают к графоаналитическому разложению. Оно основано на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период функции f(ωt)
разбивают на n
равных частей Δωt=
2π/n
(рис.6.6). Тогда для нулевой гармоники где: р
– текущий индекс (номер участка), принимающий значения от 1 до n
; f
р
(ωt) –
значение функции f(ωt)
при ωt=р·
Δωt
(см. рис.6.6).
Для амплитуды синусной составляющей k
–ой гармоники Для амплитуды косинусной составляющей k
–ой гармоники Здесь sin
p
kωt
и cos
p
kωt
- значения sinkωt
и coskωt
при ωt=р·
. В практических расчетах обычно принимают n
=18 (Δωt=
20˚) или n
=24 (Δωt=
15˚). При графоаналитическом разложении кривых в ряд Фурье еще важнее чем при аналитическом выяснить, не обладает ли она каким-либо видом симметрии, наличие которых существенно уменьшает объем вычислительной работы. Так, формулы для
и
при наличии симметрии принимают вид При построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для k
–ой гармоники в k
раз больше, чем для первой. Максимальное, среднее и действующее значения несинусоидальных величин
Периодические несинусоидальные величины, помимо своих гармонических составляющих, характеризуются максимальным, средним и действующим значениями. Максимальное значение А
m – это наибольшее в течение периода значение модуля функции (рис.6.7). Среднее по модулю значение определяется так Если кривая симметрична относительно оси абсцисс и в течение полупериода ни разу не изменяет знак, то среднее по модулю значение равно среднему значению за полпериода причем в этом случае начало отсчета времени должно быть выбрано так, чтобы f(0)=
0.Если функция за весь период ни разу не изменяет знак, то её среднее по модулю значение равно постоянной составляющей. В цепях несинусоидального тока под величинами ЭДС, напряжений или токов понимают их действующие значения, определяемые по формуле Если кривая разложена в ряд Фурье, то её действующее значение может быть определено следующим образом Поясним получение результата. Произведение синусоид разной частоты (kω
и iω
) представляет собой гармоническую функцию, а интеграл за период от любой гармонической функции равен нулю. Интеграл, находящийся под знаком первой суммы, определялся в цепях синусоидального тока и там было показано его значение. Следовательно, Из этого выражения вытекает, что действующее значение периодических несинусоидальных величин зависит только от действующих значений её гармоник и не зависит от их начальных фаз ψ
k
. Приведем пример. Пусть u
=120 Бывают случаи, когда среднее по модулю и действующее значения несинусоидальных величин могут быть рассчитаны на основании интегрирования аналитического выражения функции и тогда нет необходимости раскладывать кривую в ряд Фурье. В электроэнергетике, где кривые преимущественно симметричны относительно оси абсцисс, для характеристики их формы используется ряд коэффициентов. Наибольшее применение получили три из них: коэффициент амплитуды k
а, коэффициент формы k
ф и коэффициент искажения k
и. Они определяются так: k
а =A
m /A
; /A
ср; k
и =A
1 /A.
Для синусоиды они имеют следующие значения: k
а =; k
ф =πA
m /
2A
m ≈1.11; 1. Д Расчет цепей несинусоидального тока
Если в цепи действует один или несколько источников с несинусоидальными ЭДС, то её расчет распадается на три этапа. 1. Разложение ЭДС источников на гармонические составляющие. Как это делать рассмотрено выше. 2. Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи от действия каждой составляющей ЭДС в отдельности. 3. Совместное рассмотрение (суммирование) решений, полученных в п.2. Суммирование составляющих в общем виде чаще всего затруднено и не всегда необходимо, так как на основании гармонических составляющих можно судить как о форме кривой, так и об основных величинах, характеризующих её. О Ч С Мощность несинусоидального тока
Так же как и в цепях синусоидального тока будем вести речь о мощностях, потребляемых пассивным двухполюсником. Под активной мощностью тоже понимают среднее за период значение мгновенной мощности Пусть напряжение и ток на входе двухполюсника будут представлены рядами Фурье Подставим значения u
и i
в формулу Р
Результат получен с учетом того, что интеграл за период от произведения синусоид различных частот равен нулю, а интеграл за период от произведения синусоид одинаковой частоты определялся в разделе цепей синусоидального тока. Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармоник. Ясно, что Р
k
можно определять по любым известным формулам. По аналогии с синусоидальным током для несинусоидального вводится понятие полной мощности, как произведение действующих значений напряжения и тока, т.е. S=UI
. Отношение Р
к S
называется коэффициентом мощности и приравнивается косинусу некоторого условного угла θ
, т.е. cosθ
=P/S
. На практике очень часто несинусоидальные напряжения и токи заменяют эквивалентными синусоидами. При этом нужно выполнить два условия: 1) действующее значение эквивалентной синусоиды должно равняться действующему значению заменяемой величины; 2) угол между эквивалентными синусоидами напряжения и тока θ
должен быть таким, чтобы UI
cosθ
равнялось бы активной мощности Р
. Следовательно, θ
- это угол между эквивалентными синусоидами напряжения и тока. Обычно действующее значение эквивалентных синусоид близко к действующим значениям основных гармоник. По аналогии с синусоидальным током для несинусоидального вводится понятие реактивной мощности, определяемой как сумма реактивных мощностей всех гармоник Для несинусоидального тока в отличие от синусоидального S
2 ≠P
2 +Q
2 . Поэтому здесь вводится понятие мощности искажения Т
, характеризующей отличие форм кривых напряжения и тока и определяемой так Высшие гармоники в трехфазных системах
В трехфазных системах обычно кривые напряжения в фазах В и С точно воспроизводят кривую фазы А со сдвигом на треть периода. Так, если u
A =f(ωt)
, то u
В =f(ωt-
2π/
3),
а u
С =f(ωt+
2π/
3).
Допустим фазные напряжения несинусоидальные и разложены в ряд Фурье. Тогда рассмотрим k
–ю гармонику во всех трех фазах. Пусть u
Ak =U
km sin(kωt+ψ
k
), тогда получаем u
Вk =U
km sin(kωt+ψ
k
-k
2π/
3) и u
Ck =U
km sin(kωt+ψ
k
+k
2π/
3). Cравнивая эти выражения при различных значениях k
, замечаем, что для гармоник, кратных трем (k
=3n
, n
– натуральный ряд чисел, начиная с 0) во всех фазах напряжения в любой момент времени имеют одно и тоже значение и направление, т.е. образуют систему нулевой последовательности. При k
=3n+
1 гармоники образуют систему напряжений, последовательность которой совпадает с последовательностью фактических напряжений, т.е. они образуют систему прямой последовательности. При k
=3n-
1 гармоники образуют систему напряжений, последовательность которой противоположна последовательности фактических напряжений, т.е. они образуют систему обратой последовательности. На практике чаще всего отсутствует как постоянная составляющая, так и все четные гармоники, поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением только нечетных гармоник. Тогда ближайшая гармоника, образующая обратную последовательность, является пятая. В электродвигателях она наносит наибольший вред, поэтому именно с ней ведут беспощадную борьбу. Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, вызванные наличием гармоник, кратных трем. 1 Открытый треугольник обычно применяют перед соединением обмоток генератора в обычный треугольник для проверки возможности безаварийной реализации последнего. 3. Линейные напряжения, независимо от схемы соединения обмоток генератора или трансформатора, гармоник, кратных трем, не содержат. При соединении треугольником фазные ЭДС, содержащие гармоники, кратные трем, компенсируются падением напряжения на внутреннем сопротивлении фазы генератора. Действительно, по второму закону Кирхгофа для третьей, например, гармоники для схемы рис.6.14 можно записать U
AB3 +I
3 Z
3 =E
3 , откуда получаем U
AB3 =0. Аналогично для любой из гармоник, кратных трем. При соединении в звезду линейные напряжения равны разности соответствующих фазных ЭДС. Для гармоник, кратных трем, при составлении этих разностей фазные ЭДС уничтожаются, поскольку они образуют систему нулевой последовательности. Таким образом в фазных напряжениях могут присутствовать составляющие всех гармоник и их действующее значение . В линейных же напряжениях гармоники, кратные трем отсутствуют, поэтому их действующее значение . В связи с этим при наличии гармоник, кратных трем, U
л /U
ф <
.
.
(***)
где w
1 – основная частота. Отсюда можно сделать вывод: сложная периодическая функция f
(t
) определяется совокупностью величин С n
и j n
.
Рис. 2.
. Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота
колебания которой связана с периодом T
целочисленными соотношениями.
), а начальные фазы равны нулю.
а)б)
Разложение периодических несинусоидальных кривых в тригонометрический ряд Фурье
Явления, происходящие в линейных цепях при периодических несинусоидальных напряжениях и токах, проще всего поддаются расчету и исследованию, если несинусоидальные кривые раскладывать в тригонометрический ряд Фурье. Из математики известно, что периодическая функция f(ωt)
, удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. имеющая на всяком конечном интервале времени конечное число разрывов только первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье 
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···+
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···=
.
Здесь: A
o
– постоянная составляющая или нулевая гармоника;
-
амплитуда синусной составляющей k
-й гармоники; 
-
амплитуда косинусной составляющей k
-й гармоники. Они определяются по следующим формулам
.Особенности разложения в ряд Фурье кривых, обладающих симметрией
1. Кривые, среднее за период значение которых равно нулю, не содержат постоянной составляющей (нулевой гармоники). 2
f(ωt)=-f(ωt+π)
, то она называется симметричной относительно оси абсцисс. Этот вид симметрии легко определить по виду кривой: если сместить её на полпериода по оси абсцисс, зеркально отобразить и при этом она сольётся с исходной кривой (рис.6.3), то симметрия имеется. При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем отсутствует постоянная составляющая и все четные гармоники, поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=-f(ωt+π).
sin(5ωt +ψ
5 )+···.
. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=f(-ωt)
, то она называется симметричной относительно оси ординат (четной). Этот вид симметрии легко определить по виду кривой: если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отобразить и она сольется с исходной кривой, то симметрия имеется (рис.6.4). При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем будут отсутствовать синусные составляющие всех гармоник (=
f(ωt)=f(-ωt).
Следовательно, для таких кривых 
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···.
. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=-f(-ωt)
, то она называется симметричной относительно начала координат (нечетной). Наличие данного вида симметрии легко определить по виду кривой: если кривую, лежащую левее оси ординат развернуть относительно точки
начала координат и она сольется с исходной кривой, то симметрия имеется (рис.6.5). При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем будут отсутствовать косинусные составляющие всех гармоник (
=
0), поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=-f(-ωt).
Следовательно, для таких кривых 
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···.
Раскладывая кривую в ряд Фурье, следует предварительно выяснить, не обладает ли она каким-либо видом симметрии, наличие которой позволяет заранее предсказать, какие гармоники будут в ряде Фурье и не выполнять лишней работы. Аналитическое выражение
Графоаналитическое разложение кривых в ряд Фурье
.
,
.
.
sin(314t
+45˚)-50sin(3·314t
-75˚) B
. Его действующее значение 
ля кривой прямоугольной формы (рис.6.8,а) коэффициенты таковы: k
а =1; k
ф =1; k
и =1.26/. Для кривой заостренной (пикообразной) формы (рис.6.8,б) значения коэффициентов следующие: k
а > и тем выше, чем более пикообразной является её форма; k
ф >1.11 и тем выше, чем заостреннее кривая; k
и <1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. У
кажем одно из практических применений коэффициента искажения. Кривые напряжения промышленных сетей обычно отличаются от идеальной синусоиды. В электроэнергетике вводится понятие практически синусоидальной кривой. По ГОСТ напряжение промышленных сетей считается практически синусоидальным, если наибольшее отличие соответствующих ординат истинной кривой и её первоё гармоники не превышает 5% от амплитуды основной гармоники (рис.6.9). Измерение несинусоидальных величин приборами различных систем дает неодинаковые результаты. Амплитудные электронные вольтметры измеряют максимальные значения. Магнитоэлектрические приборы реагируют только на постоянную составляющую измеряемых величин. Магнитоэлектрические приборы с выпрямителем измеряют среднее по модулю значение. Приборы всех остальных систем измеряют действующие значения.
сновным этапом является второй. Если несинусоидальная ЭДС представлена рядом Фурье, то такой источник можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными частотами (рис.6.10). Применяя принцип наложения и рассматривая действие каждой ЭДС в отдельности, можно определить составляющие токов во всех ветвях цепи. Пусть E
o создает I
o , e
1 - i
1 , e
2 - i
2 и т.д. Тогда фактический ток i
=I
o +i
1 +i
2 +···
.
Следовательно, расчет цепи несинусоидального тока сводится к решению одной задачи с постоянной ЭДС и ряда задач с синусоидальными ЭДС. При решении каждой из этих задач необходимо учитывать, что для различных частот индуктивное и емкостное сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте, поэтому оно для k
–й гармоники x
Lk =kωL
=kx
L1 , т.е. для k
–й гармоники оно в k
раз больше, чем для первой. Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте, поэтому оно для k
–й гармоники x
Сk =1/kωС
=x
С1 /k
, т.е. для k
–й гармоники оно в k
раз меньше, чем для первой. Активное сопротивление в принципе тоже зависит от частоты из-за поверхностного эффекта, однако при малых сечениях проводников и при невысоких частотах поверхностный эффект практически отсутствует и допустимо считать, что активное сопротивление для всех гармоник одинаково. Если несинусоидальное напряжение подведено непосредственно к емкости, то для k
–й гармоники тока 
ем выше номер гармоники, тем меньше для нее сопротивление емкости. Поэтому даже если амплитуда напряжения гармоники высокого порядка составляет незначительную долю от амплитуды первой гармоники, она все же может вызвать ток, соизмеримый с током основной гармоники или превышающий его. В связи с этим даже при напряжении, близком к синусоидальному ток в емкости может оказаться резко несинусоидальным (рис.6.11). По этому поводу говорят, что емкость подчеркивает токи высоких гармоник. Если несинусоидальное напряжение подведено непосредственно к индуктивности, то для k
–й гармоники тока 
.
увеличением порядка гармоники возрастает индуктивное сопротивление. Поэтому в токе через индуктивность высшие гармоники представлены в меньшей степени, чем в напряжении на ее зажимах. Даже при резко несинусоидальном напряжении кривая тока в индуктивности нередко приближается к синусоиде (рис.6.12). Поэтому говорят, что индуктивность приближает кривую тока к синусоиде. При расчете каждой гармонической составляющей тока можно пользоваться комплексным методом и строить векторные диаграммы, однако недопустимо производить геометрическое суммирование векторов и сложение комплексов напряжений или токов разных гармоник. Действительно, векторы, изображающие скажем токи первой и третьей гармоник, вращаются с разными скоростями (рис.6.13). Поэтому геометрическая сумма этих векторов дает мгновенное значение их суммы только при ω
t
=0 и в общем случае смысла не имеет. 
. При соединении обмоток генератора или трансформатора в треугольник (рис.6.14) по ветвям последнего протекают токи гармоник, кратных трем, даже при отсутствии внешней нагрузки. Действительно, алгебраическая сумма ЭДС гармоник, кратных трем (E
3 , E
6 и т.д.), в треугольнике имеет утроенное значение, в отличие от остальных гармоник, для которых эта сумма равна нулю. Если фазное сопротивление обмотки для третьей гармоники Z
3 , то ток третей гармоники в контуре треугольника будет I
3 =E
3 /Z
3 . Аналогично ток шестой гармоники I
6 =E
6 /Z
6 и т.д. Действующее значение тока, протекающего по обмоткам будет 
. Поскольку сопротивления обмоток генератора малы, то ток может достигать больших величин. Поэтому при наличии в фазных ЭДС гармоник, кратных трем, обмотки генератора или трансформатора в треугольник не соединяют. 2
. Если соединить обмотки генератора или трансформатора в открытый треугольник (рис.6.155, то на его зажимах будет действовать напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем, т.е. u
BX =3E
3m sin(3ωt+ψ
3)+3E
6m sin(6ωt+ψ
6)+3E
9m sin(9ωt+ψ
9)+···.
Его действующее значение 
.
. 4. В схемах без нулевого провода токи гармоник, кратных трем, замыкаться не могут, так как они образуют систему нулевой последовательности и могут замыкаться только при наличии последнего. При этом между нулевыми точками приемника и источника даже в случае симметричной нагрузки появляется напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем, в чем легко убедиться по уравнению второго закона Кирхгофа с учетом того, что токи указанных гармоник отсутствуют. Мгновенное значение этого напряжения u
0 1 0 =E
3m sin(3ωt+ψ
3)+E
6m sin(6ωt+ψ
6)+E
9m sin(9ωt+ψ
9)+···.
Его действующее значение 
. 5
. В схеме звезда-звезда с нулевым проводом (рис.6.16) по последнему будут замыкаться токи гармоник, кратных трем, даже в случае симметричной нагрузки, если фазные ЭДС содержат указанные гармоники. Учитывая, что гармоники, кратные трем, образуют систему нулевой последовательности, можно записать